教科書巻末の数値はどう計算した？ 常用対数表の作られ方と応用

自然対数の底となる $e$ は「ネイピア数」と呼ばれ、$e \approx 2.71828\dots$ という無理数です。この数は「1年に100%の利子がつく銀行に1円を預け、利子がつく間隔を無限に短くしていったらいくらになるか？」という複利計算の極限から生まれました。

この $e$ を底とする対数は、微積分において公式が最もシンプルな形になるため「自然（ナチュラル）な対数」と呼ばれます。

自然対数には、分野や文脈によって複数の書き方がありますが、数式として表すと以下のようになり、全て同じ意味（底が $e$ の対数）を持ちます。

• $\log_e x$：高校数学で最初に習う、底を明記する最も丁寧な書き方。
• $\ln x$：大学の数学や物理、関数電卓でよく使われる表記。「Natural Logarithm（自然対数）」の略で、底が $e$ であることが一目で分かります。
• $\log x$：大学以降の高度な数学では、対数といえば自然対数が当たり前になるため、底を省略して単に $\log x$ と書くことが多いです。（※高校数学では底の省略は常用対数を指すことがあるので注意が必要です）

本記事では、世界的に広く使われている $\ln x$ を使用して解説を進めます。

高校で学ぶ「底の変換公式」を使うと、常用対数 $\log_{10} x$ は自然対数 $\ln x$ を使って次のように表せます。

つまり、あらかじめ $\ln 10 \approx 2.3026$ という定数を求めておけば、あとは任意の数の自然対数 $\ln x$ さえ手計算できれば、それを $\ln 10$ で割るだけで常用対数が求められるということです。

テイラー展開の考え方は、「複雑な関数を、計算しやすい無限に続く多項式で近似しよう」というものです。
$\ln(1+x)$ は次のように展開されます。

この式の右辺は、単なる足し算、引き算、掛け算、割り算だけなので、「無限の気力」さえあれば誰でも手計算で対数の値を導き出すことができるのです。

テイラー展開の式において、$x$ の代わりに $-x$ を代入して新しい式を作ります。

奇数乗の項はマイナスが外に出ますが、偶数乗の項はマイナスが消えてプラスになるため、結果としてすべての項がマイナスの式が出来上がります。

この2つの式を引き算することで、計算が面倒な偶数乗の項をすべて打ち消します。

左辺が $\ln 2$ になるような $x$ を逆算して探します。
方程式 \( \frac{1+x}{1-x} = 2 \) を解くと、\( 1+x = 2(1-x) \) より \( 3x = 1 \)。つまり \( x = \frac{1}{3} \) です。
これを魔法の式に代入すると、次のような式になります。

あとはひたすら括弧の中の分数を計算して足していきます。

これらをすべて足し合わせます：
\( 0.333333 + 0.012345 + 0.000823 + 0.000065 + 0.000005 = 0.346571 \)

最後に、式の先頭にある「2倍」を忘れずに掛け算します。
\( 0.346571 \times 2 = 0.693142 \)

魔法の式に $x=\frac{1}{2}$ を代入すれば $\ln 3$ が、$x=\frac{2}{3}$ を代入すれば $\ln 5$ が手計算で求まります。
・$\ln 3 \approx 1.0986$
・$\ln 5 \approx 1.6094$
そして、対数の性質 $\ln 10 = \ln(2 \times 5) = \ln 2 + \ln 5$ より、定数 $\ln 10$ が確定します。
$\ln 10 \approx 0.6931 + 1.6094 = 2.3025$（※より項数を増やした高精度の手計算では $2.3026$）

準備が整いました。「1.」で解説した底の変換公式 $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ に、苦労して手計算した自然対数の値を当てはめて、最後の割り算を行います。

常用対数表には「底が10」の対数しか載っていません。そこで、まずは求める式を底を10に変換します。

教科書の巻末の常用対数表から、それぞれの近似値を探し出します。

拾い出した数値を代入して、小数の割り算を行います。