なぜその3つなの？ 三角形の合同条件が成り立つ理由
中学校で暗記する「3つの合同条件」。なぜこの条件を満たすと合同になるのか？図形の重ね合わせ（厳密な証明の入り口）と論理面の両方から解き明かします。
1. 「合同」の意味と、条件を減らす工夫
2つの図形が「合同」であるとは、厳密には「片方をずらしたり裏返したりして、もう一方にぴったり重ねることができる」ということです。
$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ が合同のとき、記号 $\equiv$ を用いて $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ と表します。このとき、頂点 $A$ と $D$、$B$ と $E$、$C$ と $F$ がそれぞれ対応（重なる）ように書くのがルールです。
2つの三角形がぴったり重なるためには、本来、以下の6つの条件すべてが等しいことを確認する必要があります。
$\angle B = \angle E$
$\angle C = \angle F$
$BC = EF$
$CA = FD$
しかし、実はこれら6つすべてを調べなくても、「最低3つの条件」さえ揃えば、残りの部分は自動的に決まり、必ずぴったり重なることが分かっています。
四角形では「4辺がそれぞれ等しい」としても、長方形とひし形のように角の大きさが変わり、形が1つに決まりません。三角形だけが「辺が決まれば形が完全に固定される（トラス構造）」という特別な図形なのです。
2. 実際に「重ね合わせて」理由を確認する
では、3つの合同条件が与えられたとき、なぜ2つの三角形 $\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ が「ぴったり重なる」と言い切れるのか、作図と重ね合わせの視点から確認してみましょう。
$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ において、$AB=DE, BC=EF, CA=FD$ が成り立つとします。
まず、長さの等しい辺 $BC$ と辺 $EF$ をぴったり重ねます。次に、点 $E(B)$ を中心とする半径 $AB$（すなわち $DE$）の円と、点 $F(C)$ を中心とする半径 $CA$（すなわち $FD$）の円を描きます。
すると、2つの円の交点として頂点 $D$ の位置がただ1つに決まるため、頂点 $A$ と $D$ が重なり、2つの三角形は完全に一致します。
$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ において、$AB=DE, BC=EF, \angle B=\angle E$ が成り立つとします。
角度が等しい $\angle B$ と $\angle E$ を重ね合わせます。すると、両サイドに伸びる辺の長さが等しい（$AB=DE$ かつ $BC=EF$）ため、辺の先端にある頂点 $A$ と $D$、頂点 $C$ と $F$ がそれぞれ同じ位置に来てぴったり重なります。
結果として、結ばれる3本目の辺 $AC$ と $DF$ も自動的に重なり、合同となります。
$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ において、$BC=EF, \angle B=\angle E, \angle C=\angle F$ が成り立つとします。
長さが等しい辺 $BC$ と辺 $EF$ を重ね合わせます。すると $\angle B=\angle E$、$\angle C=\angle F$ より、頂点 $B(E)$ から伸びる辺と頂点 $C(F)$ から伸びる辺の「発射角度」がそれぞれ完全に一致します。
その2つの直線を伸ばしていくと、必ずどこか1点（交点）でぶつかり、そこで頂点 $A$ と頂点 $D$ が重なるため、合同となります。
3つの角が等しくても、形は同じ（相似）になりますが、大きさが決まりません。
（例：スマホの画面に映る正三角形と、ピラミッドのような巨大な正三角形は、角度は同じでも重なりません）
「2辺と"間ではない"角」が等しいという条件では、図形がぴったり1種類に決まらず、2種類の異なる三角形が作れてしまうことがあります。1つに決まらないため、合同条件にはなれません。
3. 大学数学への入り口：「公理（こうり）」という考え方
ここまで「重ね合わせれば明らかだから」と説明してきました。しかし、数学を極めていくと「そもそも作図でできたからって、本当に論理的に100%正しいと言えるの？」という厳しい疑問に行き着きます。
例えば、古代ギリシャの数学書『ユークリッド原論』では、これらの合同条件をより基礎的な性質から厳密に証明しようと試みています。現代の数学（大学レベルの幾何学）では、次のように考えます。
（下層のルールを使って証明できるもの）
絶対に正しいと信じる（証明しない）最初のルール」
ドイツの偉大な数学者ヒルベルトは、幾何学のルールブックを作るときに、「2辺とその間の角が等しければ、2つの三角形は合同である」ということを、証明できない最初のルール（公理）の1つとして設定しました。
究極の答え
「数学というゲームを始めるための、最初のルール（公理）として人間がそう決めたから。そして、そのルールから他のすべての条件（3辺など）も論理的に証明できるから」
となります。