実数または複素数の係数 $a, b, c, d$ （ただし $a \neq 0$）を持つ一般の3次方程式を考えます。
本稿では、この方程式の解 $x$ を係数のみを用いて表す「カルダノの公式」の導出プロセスを、すべての計算過程を明示して丁寧に解説します。
3次方程式を解く際の最大の困難は、2次の項 $bx^2$ の存在です。これを消去するために、チルンハウス変換を行います。
これを元の3次方程式に代入し、慎重に展開を行います。以下にその全工程を示します。
1項ずつ展開すると：
係数 $a, b$ を分配します：
$y^2$ の項が $-by^2 + by^2 = 0$ となり、完全に見事に消去されることが確認できます。
かっこの中を計算して整理します：
全体を $a$ で割ります：
この式を $y^3 + py + q = 0$ の形に見立てて、係数を $p, q$ と置きます：
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解の公式を導く際、「平方完成」を行いますよね。これは式全体を $x = y - \frac{b}{2a}$ と平行移動し、$x$ の1次の項を消す操作に他なりません。
方程式の解の総和は、解と係数の関係から $-b/a$ となります。2次方程式なら解は2つなので、その平均値は半分の $-b/2a$ です。この平均値を原点(0)に移動させることで、左右対称な形を作り出しています。
全く同じ理屈で、3次方程式の解は3つあるため、平均値は3等分した $-b/3a$ になります。したがって $x = y - \frac{b}{3a}$ と置換することでグラフ全体が平行移動し、2次の項が消去されて方程式が圧倒的にシンプルになるのです。
簡約された方程式 $y^3 + py + q = 0$ を解くために、解 $y$ を新たな2つの変数 $u, v$ の和として仮定します。
これを代入します。
左辺の $(u+v)^3$ を展開し、式を整理します。
真ん中の2項 $3u^2v + 3uv^2$ を共通因数 $3uv$ でくくります：
さらに $(u+v)$ で共通の項をまとめると、次の形が得られます：
上の等式において、$(u^3 + v^3 + q) + (3uv + p)(u + v) = 0$ が成り立つからといって、必ずしも「$3uv + p = 0$ かつ $u^3 + v^3 + q = 0$」が言えるわけではありません。（必要条件ではない）
しかし逆に、「$3uv + p = 0$ かつ $u^3 + v^3 + q = 0$」となるような $u, v$ が見つかれば、上の等式は間違いなく成り立ちます。（十分条件）
そこで、この方程式を満たす $u, v$ を見つけるために、あえて都合の良い次の条件を課します：
この条件のおかげで後ろの項 $(3uv+p)(u+v)$ が丸ごと $0$ に消え去り、残った部分は $u^3 + v^3 + q = 0$ となります。
つまり、以下の2つの式が成り立ちます。
さらに $uv = -p/3$ の両辺を3乗すると：
ここで得られた式は、$u^3$ と $v^3$ の「和」と「積」を表しています。
解と係数の関係により、和が $-q$、積が $-\frac{p^3}{27}$ となる2つの数（$u^3$ と $v^3$）は、変数 $t$ に関する以下の2次方程式の解となります。
この $t$ に関する2次方程式を、解の公式に当てはめて解くことで、解 $t$ が求まります。
根号の中を整理すると、以下のようになります。
この2つの解がそれぞれ $u^3$ と $v^3$ に該当しますので、次のように表せます。
（※ 複号の $\pm$ のどちらを $u^3$ と置いても、後で $u+v$ を計算するため結果は同じになります。）
もともと方程式の未知数は $y$ の1つだけでしたが、それを $y = u + v$ と2つの変数の和に置き換えました。
例えば「和が5になる2つの数」を考えると、$(2,3)$ や $(1,4)$、$(10,-5)$ など、$(u, v)$ の組み合わせは無限に存在します。つまり、和の条件だけでは $u$ と $v$ は1つに定まらず、数学的に「1つ分の自由度が余っている」状態になります。
この余った自由度を利用し、「積が特定の数になる（$3uv+p=0$）」という束縛条件を追加します。
先述の通り、これは必要条件ではありませんが、この条件を満たす $u, v$ を見つけさえすれば、元の3次方程式を満たす十分条件となります。無限にあるペアを1つに確定させつつ、複雑な方程式を劇的に単純化するというのが、カルダノの解法の最も鮮やかなポイントです。
前節で $u^3$ と $v^3$ の値が分かりました。ここから3乗根を外して $u$ と $v$ を求めるわけですが、複素数の世界ではある数の3乗根は「3つ」存在します。
したがって $u$ に3通り、$v$ に3通りの候補があり、組み合わせ $(u, v)$ は全部で $3 \times 3 = 9$ 通り考えられます。しかし、私たちが勝手に追加した条件 $uv = -p/3$（実数）を満たすペアしか、真の解として採用できません。
条件を満たす基準の1組（実数根の組など）を大文字の $U, V$ と置きます。（すなわち $UV = -p/3$）
このとき、3乗根の性質（右記サイドバー参照）より、$u, v$ のすべての候補は以下のようになります。
これら9パターンの積 $uv$ をすべて計算します。
| $u$ の候補 | $v$ の候補 | 積 $uv$ の計算 | 判定 |
|---|---|---|---|
| $U$ | $V$ | $UV$ | ○ 適合 |
| $U$ | $V\omega$ | $UV\omega$ | × 不適合 |
| $U$ | $V\omega^2$ | $UV\omega^2$ | × 不適合 |
| $U\omega$ | $V$ | $UV\omega$ | × 不適合 |
| $U\omega$ | $V\omega$ | $UV\omega^2$ | × 不適合 |
| $U\omega$ | $V\omega^2$ | $UV\omega^3 = UV \cdot 1 = UV$ | ○ 適合 |
| $U\omega^2$ | $V$ | $UV\omega^2$ | × 不適合 |
| $U\omega^2$ | $V\omega$ | $UV\omega^3 = UV \cdot 1 = UV$ | ○ 適合 |
| $U\omega^2$ | $V\omega^2$ | $UV\omega^4 = UV\omega$ | × 不適合 |
$\omega^3=1$ であることを利用すると、計算結果の積が基準の $UV$（すなわち $-p/3$）に完全に一致するのは、$(U, V), (U\omega, V\omega^2), (U\omega^2, V\omega)$ の3組だけであることがはっきりと分かります。
なぜ3乗根を外す際に $1, \omega, \omega^2$ が出てくるのでしょうか。
まず、$w^3 = 1$ を解きます。$1$を移行して因数分解すると：
$w^3 - 1 = (w-1)(w^2+w+1) = 0$
ここから $w=1$ と、後半の2次方程式に解の公式を適用して $w = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ が得られます。この虚数解の「＋」の方を $\omega$ と置きます。
これを丁寧に2乗してみましょう。
見事に、もう1つの「－」の解に一致しました。つまり、$w^3=1$ の3つの解は $1, \omega, \omega^2$ とシンプルに書けるのです。
💡 $z^3 = A$ の解の構造これを利用して $z^3 = A$ の解を考えます。両辺を $A$ で割ると $\frac{z^3}{A} = 1$ となり、次のように変形できます。
このカッコの中身を1つの文字と見れば、それは「1の3乗根」すなわち $1, \omega, \omega^2$ のいずれかになります。
両辺に $\sqrt[3]{A}$ を掛けることで、1つの基準となる解 $\sqrt[3]{A}$ に $1, \omega, \omega^2$ を掛けた以下の3つがすべての解となることが証明されます。
第4節で選定された正しい $u$ と $v$ の3組の組み合わせから、簡約された方程式の解 $y$（$y = u+v$）は次のように得られます。
最後に、第2節で行ったチルンハウス変換は $x = y - \frac{b}{3a}$ でした。これを各 $y$ に適用し、元の変数 $x$ に戻すことで、元の3次方程式の3つの解が確定します。
これを1つの公式としてまとめたものが、以下のタブに示される「カルダノの公式」です。
$U = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}, \quad V = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$ とする。
すべての係数を代入した完全展開形式です。非常に巨大な式になります。
ここまでの理論が本当に機能するのか、具体的な方程式を例に挙げて確認してみましょう。因数定理を用いた一般的な解法と、カルダノの公式を用いた解法の2つのアプローチで比較します。
$P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ とおきます。
$P(1)$ を計算すると、
となるため、因数定理により $P(x)$ は $(x-1)$ を因数に持ちます。
多項式の割り算（ここでは組み立て除法）により、$P(x) \div (x-1)$ を計算します。
（商の係数が $1, -1, -6$、余りが $0$ であることを示しています）
これにより、次のように因数分解できます。
さらに残りの2次式を因数分解して、
よって、求める解は $x = 1, 3, -2$ となります。
方程式 $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$ は、$a=1, b=-2, c=-5, d=6$ です。
先ほど証明した手順をそのまま適用します。
Step 1: 変数変換
$x = y - \frac{b}{3a} = y - \frac{-2}{3} = y + \frac{2}{3}$ と置きます。
$p, q$ を計算します：
これにより、簡約方程式は $y^3 - \frac{19}{3}y + \frac{56}{27} = 0$ になります。
Step 2: $u^3, v^3$ の計算
和が $-q$、積が $-p^3/27$ となる2次方程式を立てます。
この2次方程式を解の公式に当てはめて、丁寧に計算を進めます。
根号の中が負になったため、虚数単位 $i$ を用いて平方根を外します。（$\sqrt{24300} = \sqrt{8100 \times 3} = 90\sqrt{3}$）
よって $u^3, v^3$ は次のようになります。
Step 3: 3乗根を外す（$U, V$ の計算）
ここで、$u^3 = \frac{-28 + 45\sqrt{3}i}{27}$ の3乗根を求めます。分母は $3^3=27$ なので、分子の3乗根を $A + B\sqrt{3}i$（$A, B$ は整数）と予想して方程式を立てます。
左辺を展開し、実部と虚部を比較します。
実部より $A(A^2 - 9B^2) = -28$、虚部より $3B(A^2 - B^2) = 45$。これを満たす整数を探すと、$A = -4, B = 1$ が見つかります。
したがって、3乗根の1つは $\frac{-4 + \sqrt{3}i}{3}$ となります。$v^3$ についても共役複素数として同様に求まり、
Step 4: 解の復元
$U, V$ と $\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}, \omega^2 = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ を代入して、丁寧に $y$ の解を計算します。
最後に $x = y + \frac{2}{3}$ で元の $x$ に戻します。
見事、因数定理と全く同じ解が求まりました！
因数定理を使わずに、項を意図的に分割して共通因数をあぶり出す直感的な式変形アプローチです。
方程式 $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$ の各項を、ペアが作れるように次のように分割します。
これを2つの項ずつペアにしてくくります。
共通因数 $(x-1)$ が現れたので、全体をくくり出します。
残りの2次式を因数分解して、
よって、求める解は $x = 1, 3, -2$ となります。因数定理や公式を用いなくても、純粋な式変形だけで解にたどり着くことができました。
今回の例題のように、3つの解が「すべて実数」になる場合、カルダノの公式の計算途中 ($u^3, v^3$ の段階) で必ず根号の中にマイナスが現れ、虚数が登場します。
当時の数学者は「実数解を求めるだけなのに、なぜ実在しない数（虚数）を経由しなければならないのか？」と大いに悩みました。しかし、この虚数を経由しない限り、代数的に解を導くことは不可能なのです。
これが、数学の歴史において「虚数」が単なる計算上の辻褄合わせではなく、不可欠なものとして市民権を得る最大のきっかけとなりました。
因数定理なら数行で終わる計算に、あえてカルダノの公式で挑むことで、この「代数学のロマン」を直接体験することができます。
本稿ではカルダノの公式や因数分解による解法を紹介しましたが、歴史上、他にも多様なアプローチが考案されています。