一般の3次方程式を考える。
$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$
この解を求める。
変数変換を行い、2次の項を消去する。
$x = y - \frac{b}{3a}$
これを代入すると、
$a\left(y - \frac{b}{3a}\right)^3 + b\left(y - \frac{b}{3a}\right)^2 + c\left(y - \frac{b}{3a}\right) + d = 0$
展開・整理すると、
$y^3 + \frac{3ac - b^2}{3a^2} y + \left( \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} \right) = 0$
ここで、簡単のために次のように置く。
$p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}, \quad q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}$
すると、方程式は次のように書ける。
$y^3 + p y + q = 0$
新たに $y=u+v$ と置き、元の方程式に代入する。
$(u + v)^3 + p(u + v) + q = 0$
ここで、
$3uv + p = 0$
と仮定すると、
$u^3 + v^3 = -q$
2次方程式
$t^2 + q t - \frac{p^3}{27} = 0$
の解として、
$u^3 = \frac{-q + \sqrt{q^2 + 4p^3/27}}{2}, \quad v^3 = \frac{-q - \sqrt{q^2 + 4p^3/27}}{2}$
が得られる。
各 $i, j = 0,1,2$ に対し、
$u_0 = u, \quad u_1 = u\omega, \quad u_2 = u\omega^2$
$v_0 = v, \quad v_1 = v\omega, \quad v_2 = v\omega^2$
ここで、
$u = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}, \quad v = \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}$
また、
$\omega = e^{2\pi i /3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \omega^2 = e^{4\pi i /3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$
9通りの組み合わせのうち、条件を満たす3つの組み合わせのみが許される。
$x = u + v - \frac{b}{3a}$ より、3つの解は
$x_1 = u_0 + v_0 - \frac{b}{3a}$
$x_2 = u_1 + v_2 - \frac{b}{3a}$
$x_3 = u_2 + v_1 - \frac{b}{3a}$
これが3次方程式の一般解であり、カルダノの公式の完全な形である。
3次方程式
$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$
に対して、変数変換
$x = y - \frac{b}{3a}$
を行う。これを元の式に代入すると、
$a\left(y - \frac{b}{3a}\right)^3 + b\left(y - \frac{b}{3a}\right)^2 + c\left(y - \frac{b}{3a}\right) + d = 0$
$a\left(y^3 - 3 \frac{b}{3a} y^2 + 3 \frac{b^2}{9a^2} y - \frac{b^3}{27a^3}\right) + b\left(y^2 - 2 \frac{b}{3a} y + \frac{b^2}{9a^2}\right) + c\left(y - \frac{b}{3a}\right) + d = 0$
$a y^3 - 3a \frac{b}{3a} y^2 + 3a \frac{b^2}{9a^2} y - a \frac{b^3}{27a^3} + b y^2 - 2b \frac{b}{3a} y + b \frac{b^2}{9a^2} + c y - c \frac{b}{3a} + d = 0$
$a y^3 - b y^2 + \frac{3a b^2}{9a^2} y - \frac{a b^3}{27a^3} + b y^2 - \frac{2b^2}{3a} y + \frac{b^3}{9a^2} + c y - \frac{bc}{3a} + d = 0$
$a y^3 + (-b + b) y^2 + \left( \frac{3a b^2}{9a^2} - \frac{2b^2}{3a} + c \right) y + \left( - \frac{a b^3}{27a^3} + \frac{b^3}{9a^2} - \frac{bc}{3a} + d \right) = 0$
$y^3 + \frac{3a c - b^2}{3a^2} y + \left( \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} \right) = 0$
これにより、2次の項が消去されたことが確認できる。
変数変換 $y=u+v$ を行うと、3次方程式は
$(u + v)^3 + p(u + v) + q = 0$
展開すると、
$u^3 + v^3 + 3uv(u + v) + p(u + v) + q = 0$
ここで、
$3uv + p = 0$
と仮定すると、式は
$u^3 + v^3 + q = 0$
したがって、
$u^3 + v^3 = -q, \quad uv = -\frac{p}{3}$
両辺を3乗すると、
$(u^3 v^3) = \left(-\frac{p}{3}\right)^3 = -\frac{p^3}{27}$
したがって、
$u^3 v^3 = -\frac{p^3}{27}$
これにより、$u^3$ と $v^3$ は2次方程式
$t^2 + q t - \frac{p^3}{27} = 0$
の解であることが示される。
一般に、3次方程式 $z^3 = A$ の解を求める。
まず、両辺を $A$ （すなわち $A \neq 0$）で割ると、
$\left(\frac{z}{\sqrt[3]{A}}\right)^3 = 1$
と変形できる。
ここで、$1$ の3乗根を考える。 $w^3 = 1$ の解は、
$w = 1, \omega, \omega^2$
である。
したがって、$\frac{z}{\sqrt[3]{A}} = 1, \omega, \omega^2$ となり、
$z = \sqrt[3]{A}, \sqrt[3]{A}\omega, \sqrt[3]{A}\omega^2$
これにより、3次方程式の解が $\sqrt[3]{A}, \sqrt[3]{A}\omega, \sqrt[3]{A}\omega^2$ であることが証明された。
$u$ と $v$ の3乗根はそれぞれ3通りずつあるため、組み合わせは9通り存在する。しかし、3次方程式の解として許されるのは3つのみである。
9通りの組み合わせ $(u_i,v_j)$ に対して、以下の条件を計算して判定する。
$(u_i) (v_j) = -\frac{p}{3}$
まず、$u$と$v$の3乗根の候補を定義する。
$u_0 = u, \quad u_1 = \omega u, \quad u_2 = \omega^2 u$
$v_0 = v, \quad v_1 = \omega v, \quad v_2 = \omega^2 v$
ここで、$\omega$ は $1$ の原始3乗根であり、$\omega^3 = 1$ を満たす。
各組み合わせについて、条件 $u_i v_j = -p/3$ を満たすか計算する。
$(u_0,v_0)$:
$u_0 v_0 = uv = -\frac{p}{3}$ → 条件を満たす
$(u_0,v_1)$:
$u_0 v_1 = u(\omega v) = \omega uv = -\frac{p}{3} \omega$ → 条件を満たさない
$(u_0,v_2)$:
$u_0 v_2 = u(\omega^2 v) = \omega^2 uv = -\frac{p}{3} \omega^2$ → 条件を満たさない
$(u_1,v_0)$:
$u_1 v_0 = (\omega u)v = \omega uv = -\frac{p}{3} \omega$ → 条件を満たさない
$(u_1,v_1)$:
$u_1 v_1 = (\omega u)(\omega v) = \omega^2 uv = -\frac{p}{3} \omega^2$ → 条件を満たさない
$(u_1,v_2)$:
$u_1 v_2 = (\omega u)(\omega^2 v) = \omega^3 uv = uv = -\frac{p}{3}$ → 条件を満たす
$(u_2,v_0)$:
$u_2 v_0 = (\omega^2 u)v = \omega^2 uv = -\frac{p}{3} \omega^2$ → 条件を満たさない
$(u_2,v_1)$:
$u_2 v_1 = (\omega^2 u)(\omega v) = \omega^3 uv = uv = -\frac{p}{3}$ → 条件を満たす
$(u_2,v_2)$:
$u_2 v_2 = (\omega^2 u)(\omega^2 v) = \omega^4 uv = \omega uv = -\frac{p}{3} \omega$ → 条件を満たさない
以上の判定結果より、次の3通りの組み合わせが条件を満たす。
このようにして、9通りの組み合わせの中から3つの解に絞り込むことができる。
3次方程式の解
$x=u+v-\frac{b}{3a}$
において、$u^3$ と $v^3$ を以下のように代入する。
$u^3 = \frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}, \quad v^3 = \frac{-q - \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}$
これらの3乗根を取ると、
$u = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}, \quad v = \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}$
したがって、3つの解は次のように表される。
$x_1 = u + v - \frac{b}{3a}$
$x_2 = \omega u + \omega^2 v - \frac{b}{3a}$
$x_3 = \omega^2 u + \omega v - \frac{b}{3a}$
次に、$p$ と $q$ を用いた表現に変換する。
$p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}, \quad q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}$
これを代入して整理すると、
$x_1 = \sqrt[3]{\frac{- \left( \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} \right) + \sqrt{\left( \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} \right)^2 + \frac{4}{27} \left( \frac{3ac - b^2}{3a^2} \right)^3}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{- \left( \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} \right) - \sqrt{\left( \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} \right)^2 + \frac{4}{27} \left( \frac{3ac - b^2}{3a^2} \right)^3}}{2}} - \frac{b}{3a}$
$x_2 = \omega \sqrt[3]{\frac{- \left( \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} \right) + \sqrt{\left( \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} \right)^2 + \frac{4}{27} \left( \frac{3ac - b^2}{3a^2} \right)^3}}{2}} + \omega^2 \sqrt[3]{\frac{- \left( \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} \right) - \sqrt{\left( \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} \right)^2 + \frac{4}{27} \left( \frac{3ac - b^2}{3a^2} \right)^3}}{2}} - \frac{b}{3a}$
$x_3 = \omega^2 \sqrt[3]{\frac{- \left( \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} \right) + \sqrt{\left( \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} \right)^2 + \frac{4}{27} \left( \frac{3ac - b^2}{3a^2} \right)^3}}{2}} + \omega \sqrt[3]{\frac{- \left( \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} \right) - \sqrt{\left( \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} \right)^2 + \frac{4}{27} \left( \frac{3ac - b^2}{3a^2} \right)^3}}{2}} - \frac{b}{3a}$
但し、
$\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$
である。
これが、係数 $a,b,c,d$ のみを用いた3次方程式の3つの解の公式である。