はじめに：正負の数の計算での疑問
Q. 中1数学の問題です。
\( (+6) - (+7 - 4 + 5) \)
\( = (+6) + (-7 + 4 - 5) \) ・・・①
のように式を変形して計算する、と書かれています。
減法を加法に変えるのは以下の②のように、既に習ったので分かるのですが、①のように、( )の中の全ての符号を変えて計算しなければならないのが理解できません。
（参考：② \( (+6) - (+7) = (+6) + (-7) = -(7 - 6) = -1 \)）
とても良い疑問ですね！②の「引くことは、符号を変えて足すことと同じ」という基本はしっかり理解できています。
ではなぜ、引く対象が \( (+7 - 4 + 5) \) のように複数あるとき、カッコの中のすべての符号が変わる（\( -7 + 4 - 5 \) になる）のでしょうか？
この疑問について、「分配法則」などの後で習う難しい概念を使わずに、以下の3つのアプローチで論理的かつ視覚的に分かりやすく解説します。
① 直感的な理解を促す説明（数直線と日常の具体例）
ここでは文字を一切使わず、身近な「ゲームのポイント」を例にして、「全体にマイナスをつける（全体を逆にする）」ということがどういう意味を持つのかを考えてみましょう。
出来事全体を「取り消す（反転させる）」
あるミニゲームで、次のような得点の動き \( (+7 - 4 + 5) \) が起きたとします。
- +7：敵を倒して 7ポイント もらった
- -4：トラップに当たって 4ポイント 失った
- +5：ボーナスアイテムで 5ポイント もらった
この一連の動きの結果、あなたの得点は合計で「+8ポイント」増えました。これをまるごと「引く（マイナスする＝なかったことにして逆の状態にする）」と、得点は「-8ポイント」になります。これが \( -(+7 - 4 + 5) \) の意味です。
では、この「全体を逆にする」という操作を、出来事のひとつひとつを最初から「逆」にして考えてみましょう。
- 「7ポイントもらう」の逆は、「7ポイント失う（-7）」
- 「4ポイント失う」の逆は、「4ポイント返ってくる（+4）」
- 「5ポイントもらう」の逆は、「5ポイント失う（-5）」
この「逆の出来事」をすべて合わせると、\( -7 + 4 - 5 \) となります。計算すると、失ったのが合計12ポイント、増えたのが4ポイントなので、結果は「-8ポイント」です。
「全体の結果を逆にする」のも、「個別の出来事をすべて逆にしてから合わせる」のも、
結果は同じ（-8ポイント）になります。
数直線による図解：移動の順序と反転
※上段の青と赤の実線が元の動き、下段の点線がそれぞれの符号を反転させた動きを表しています。全体の結果（0からの距離と方向）が完全に入れ替わっていることに注目してください。
このように、カッコの前にマイナスがついているということは、数直線上のすべての動きを鏡合わせのように反対にすることと同じです。そのため、カッコの中のすべての符号が変わるのです。
② 具体的な値を用いた説明（質問の数字を使って）
次に、あなたが質問してくれた \( (+7 - 4 + 5) \) という具体的な数字を使って、「左辺と右辺がなぜ等しいと言えるのか」を論理的に確認してみましょう。
証明の核となるのは、あなたがすでに理解している「ある数と、それにマイナスをつけた数を足すと『0』になる」という当たり前の事実です。
目的は、\( -(+7 - 4 + 5) = -7 + 4 - 5 \) が成り立つことを確認することです。
(1) 左辺 \( -(+7 - 4 + 5) \) について考える
\( -(+7 - 4 + 5) \) という数は、「\( +7 - 4 + 5 \)」という塊全体にマイナスをつけた数です。
したがって、この数に元の塊「\( +7 - 4 + 5 \)」を足せば、必ず 0 になります。
(2) 右辺 \( -7 + 4 - 5 \) について考える
次に、符号をすべて変えた右辺 \( -7 + 4 - 5 \) という式に、同じように元の塊「\( +7 - 4 + 5 \)」を足してみます。
足し算の順番を入れ替えて、同じ数字同士でまとめてみます。
カッコの中をそれぞれ計算すると、すべて 0 になります。
つまり、右辺の式に元の塊「\( +7 - 4 + 5 \)」を足しても 0 になることが分かりました。
(3) 両者を比較する
【A】と【B】を見比べてください。
- 左辺の式は、元の塊を足すと 0 になる数です。
- 右辺の式も、元の塊を足すと 0 になる数です。
「ある特定の塊」に足して 0 になる数は、この世に1つしかありません。
したがって、この2つの式は全く同じものであると結論づけられます。
\( -(+7 - 4 + 5) = -7 + 4 - 5 \)
が成り立ちます。
③ 厳密な証明（文字と数式による説明）
最後に、具体的な数字ではなく、文字 \( a, b, c \) を用いて証明します。分配法則は一切使用しません。
\( -(a - b + c) = -a + b - c \)
(1) 左辺についての性質
ある塊 \( (a - b + c) \) と、それにマイナスをつけた \( -(a - b + c) \) を足すと 0 になります。
(2) 右辺について考える
右辺の \( -a + b - c \) という式に対して、元の塊 \( (a - b + c) \) を足すと：
(3) 結論
【A】と【B】より、どちらも元の塊に足すと 0 になる数であることがわかったため、両者は同じ数です。
結論
あなたの最初の質問にあった計算は、このように変形できます：
「全体にマイナスをつける」とは、数直線上のすべての動きを反対の方向へ入れ替えることと同じです。そのため、カッコの中の符号が「プラスはマイナスへ」「マイナスはプラスへ」とすべて入れ替わるのです。この法則を理解しておくと、これからの数学がぐっと楽になりますよ！