中心が原点にない場合の 円の接線の方程式の証明
中心 \( (a,b) \)、半径 \( r \) の円における公式の導出を、垂直条件と式変形の工夫から視覚的に解き明かします。
1. グラフで状況を整理する
中心が \( C(a, b) \) である円とその周上の点 \( P(x_0, y_0) \) における接線の関係を図示します。接線の最大の性質は、「接点を通る半径と接線が互いに垂直である」ことです。
垂直条件 \( m \cdot m' = -1 \) を利用することで、微積分を使わずに接線の公式を導き出すことができます。
2. 接線の方程式の導出（垂直条件による証明）
円の方程式 \( (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \) を前提として、以下の手順で証明を進めます。
中心 \( C(a, b) \) と接点 \( P(x_0, y_0) \) を結ぶ半径 \( CP \) の傾き \( m' \) は、 \[ m' = \frac{y_0-b}{x_0-a} \] 接線の傾きを \( m \) とすると、垂直条件より \( m \cdot m' = -1 \) となるため、 \[ m \cdot \frac{y_0-b}{x_0-a} = -1 \]
これを \( m \) について解くと： \[ m = -1 \div \frac{y_0-b}{x_0-a} = -\frac{x_0-a}{y_0-b} \]
点 \( P(x_0, y_0) \) を通り、傾き \( m \) の直線の方程式は： \[ y - y_0 = -\frac{x_0-a}{y_0-b}(x - x_0) \]
STEP 2で求めた式を変形して、円の公式の形に整えていきます。まず、分母を払うと：
展開して変数の項を左辺、定数項を右辺へ移項すると：
円の方程式の形に近づけるため、あえて両辺に \( -a(x_0-a) - b(y_0-b) \) を加えると：
左辺と右辺をそれぞれ共通因数でくくり、因数分解すると：
右辺の同じかっこの掛け算を、累乗（2乗）の表記にすると：
ここで、点 \( P(x_0, y_0) \) は円 \( (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \) 上の点であることから、以下の関係式が成り立ちます。
よって、④の式の右辺に⑤を代入することで、最終的な公式が完成します。
単に展開するだけではなく、公式の形を目指してあえて項を加える発想が重要です。ここを乗り越えればあとは代入するだけです。
\( a=0, b=0 \)（原点が中心）とすると、基本公式 \( x_0x + y_0y = r^2 \) に完全に一致することが確認できます。
3. 平行移動による別解（図解による説明）
この公式は、「平行移動」という概念を使うと驚くほどシンプルに理解できます。図を用いてそのプロセスを見てみましょう。
円と接線をセットにして、同じ座標系の中で \( x \) 軸方向に \( -a \)、\( y \) 軸方向に \( -b \) 平行移動します。
この移動により、円の中心は原点 \( (0,0) \) になり、接点は元の位置から引かれた \( P'(x_0-a, y_0-b) \) に移動します。
移動後の円は、原点中心の \( x^2 + y^2 = r^2 \) です。この円上の点 \( P'(x_0-a, y_0-b) \) における接線は、基本公式より以下のようになります。
手順2で求めたのは「移動後の接線」です。求めたい「元の接線」にするため、この直線を逆に \( x \) 軸方向に \( +a \)、\( y \) 軸方向に \( +b \) 平行移動して戻します。
図形の平行移動の公式に従い、式中の \( x \) を \( (x-a) \) に、\( y \) を \( (y-b) \) に置き換えると、公式が完成します。