高校数学｜図形と方程式

中心が原点にない場合の
円の接線の方程式の証明

中心 \( (a,b) \)、半径 \( r \) の円の方程式上の点 \( P(x_0,y_0) \) における接線を求める

視覚的な理解（グラフ図解）

円の半径（赤点線）と、点 \( P \) を通る接線（紫線）は**必ず垂直に交わる**という性質が、証明の鍵になります。

【証明：本文】

与えられた円の方程式は、

\[ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \]

とする。
接点 \( P(x_0,y_0) \) の接線の方程式を求める。

1. 半径の傾きと接線の傾きの関係

接点 \( P(x_0,y_0) \) における接線 \( PT \) の傾きを \( m \)、半径 \( OP \) の傾きを \( m' \) とすると、

m' = \frac{y_0-b}{x_0-a}

また、接線は半径に対して垂直であるため、

m \cdot m' = -1

が成り立つ。これに \( m' \) を代入すると、

m \cdot \frac{y_0-b}{x_0-a} = -1

よって、接線の傾き \( m \) は：

m = -\frac{x_0-a}{y_0-b}

2. 接線の方程式を求める

点 \( P(x_0,y_0) \) を通り、傾きが \( m \) の直線の方程式は、「1点を通る直線の方程式の公式」より

\[ y-y_0 = m(x-x_0) \]

これに \( m = -\frac{x_0-a}{y_0-b} \) を代入すると、

y-y_0 = -\frac{x_0-a}{y_0-b}(x-x_0)

両辺に \( (y_0-b) \) を掛けて分母を払うと、

\[ (y_0-b)(y-y_0) = -(x_0-a)(x-x_0) \]

さらに展開して式を整理していく。（※詳細は補足参照）

(x_0-a)x+(y_0-b)y = x_0(x_0-a)+y_0(y_0-b) \quad \cdots ① \] \[ (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b) = x_0(x_0-a)+y_0(y_0-b)-a(x_0-a)-b(y_0-b) \quad \cdots ② \] \[ (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b) = (x_0-a)(x_0-a)+(y_0-b)(y_0-b) \quad \cdots ③ \] \[ (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b) = (x_0-a)^2+(y_0-b)^2 \quad \cdots ④

3. 円の方程式との関係

点 \( P(x_0,y_0) \) は円の上の点なので、円の方程式を満たす。

(x_0-a)^2+(y_0-b)^2 = r^2 \quad \cdots ⑤

④の式の右辺に⑤を代入する。④⑤より、求める接線の方程式は

\[ (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b) = r^2 \]

□（証明終）

【補足：式変形の詳細解説】

元の式から ① への変形：展開と移項

分母を払って得られた元の式を展開し、変数 \(x, y\) を含む項を左辺に、定数項を右辺に整理します。

\[ (y_0-b)(y-y_0) = -(x_0-a)(x-x_0) \]

ステップ1：両辺を展開する
左辺は \( (y_0-b) \) を \(y\) と \(-y_0\) に、右辺は \( -(x_0-a) \) を \(x\) と \(-x_0\) にそれぞれ掛けます。

\[ (y_0-b)y - y_0(y_0-b) = -(x_0-a)x + x_0(x_0-a) \]

ステップ2：移項して整理する
右辺の \( -(x_0-a)x \) を左辺へ（プラスになります）、左辺の \( -y_0(y_0-b) \) を右辺へ（プラスになります）移項し、順番を整えます。

\[ (x_0-a)x + (y_0-b)y = x_0(x_0-a) + y_0(y_0-b) \]

① から ② への変形：項の整理

両辺に \( -a(x_0-a)-b(y_0-b) \) を加えることで、右辺を因数分解しやすい形にします。

(x_0-a)x+(y_0-b)y + \color{red}{\{-a(x_0-a)-b(y_0-b)\}} = x_0(x_0-a)+y_0(y_0-b) \color{red}{-a(x_0-a)-b(y_0-b)}

左辺を整理（\(x\) と \(-a\)、\(y\) と \(-b\) をまとめる）すると、

\[ (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b) = x_0(x_0-a)+y_0(y_0-b)-a(x_0-a)-b(y_0-b) \]

② から ③ への変形：右辺の整理

右辺の項を共通因数でくくって整理します。

\( x_0\color{blue}{(x_0-a)} - a\color{blue}{(x_0-a)} = \color{blue}{(x_0-a)}(x_0-a) \)
\( y_0\color{green}{(y_0-b)} - b\color{green}{(y_0-b)} = \color{green}{(y_0-b)}(y_0-b) \)

これを用いると、右辺は次のようにスッキリまとまります。

\[ (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b) = (x_0-a)(x_0-a)+(y_0-b)(y_0-b) \]

③ から ④ への変形：累乗表記への変換

同じかっこの掛け算を、累乗（指数）表記に書き換えます。

(x_0-a)(x_0-a) = (x_0-a)^2, \quad (y_0-b)(y_0-b) = (y_0-b)^2

これにより、円の方程式の形が現れます。

\[ (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b) = (x_0-a)^2+(y_0-b)^2 \]

まとめ：
1. 両辺に \( -a(x_0-a)-b(y_0-b) \) を加えて整理
2. 右辺を因数分解しやすい形にする
3. 累乗表記（指数表記）に変換
という流れで式を変形しました。この形にすることで、最後に円の方程式 \( (x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2 \) を直接適用できるようになります。