高校数学 公式一覧
全公式 完全網羅版

$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$

$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$

$a^3+b^3+c^3-3abc =$
$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

二項定理・多項定理

$(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_r a^{n-r}b^r$

一般項：$\frac{n!}{p!q!r!}a^p b^q c^r \quad (p+q+r=n)$

等式・不等式の証明

相加・相乗平均：$a>0, b>0 \implies \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

コーシー・シュワルツの不等式：
$(a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2$

虚数単位 $i^2 = -1$。複素数 $z = a+bi$

和・差：$(a+bi) \pm (c+di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$

共役な複素数 $\bar{z} = a-bi$ と絶対値の性質

$\overline{\alpha \pm \beta} = \bar{\alpha} \pm \bar{\beta}, \ \overline{\alpha\beta} = \bar{\alpha}\bar{\beta}, \ \overline{\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)} = \frac{\bar{\alpha}}{\bar{\beta}}$

$|z|^2 = z\bar{z}, \ |\alpha\beta| = |\alpha||\beta|$

解と係数の関係 (2次・3次)

2次：$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}, \ \alpha\beta = \frac{c}{a}$

3次：$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a}, \quad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$

剰余の定理・因数定理・相反方程式

$P(x)$を$x-k$で割った余りは$P(k)$

$P(k)=0 \iff P(x)$は$x-k$を因数にもつ

相反方程式：$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$
$x^2$ で割り $t = x+\frac{1}{x}$ と置換する。

扇形の弧の長さと面積：$l = r\theta, \ S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl$

三角関数の変換公式 全15パターン

$\sin(-\theta) = -\sin\theta$

$\cos(-\theta) = \cos\theta$

$\tan(-\theta) = -\tan\theta$

$\sin(90^\circ-\theta) = \cos\theta$

$\cos(90^\circ-\theta) = \sin\theta$

$\tan(90^\circ-\theta) = \frac{1}{\tan\theta}$

$\sin(90^\circ+\theta) = \cos\theta$

$\cos(90^\circ+\theta) = -\sin\theta$

$\tan(90^\circ+\theta) = -\frac{1}{\tan\theta}$

$\sin(180^\circ-\theta) = \sin\theta$

$\cos(180^\circ-\theta) = -\cos\theta$

$\tan(180^\circ-\theta) = -\tan\theta$

$\sin(180^\circ+\theta) = -\sin\theta$

$\cos(180^\circ+\theta) = -\cos\theta$

$\tan(180^\circ+\theta) = \tan\theta$

加法定理

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$

2倍角・3倍角の公式

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1 = 1-2\sin^2\alpha$

$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

$\sin 3\alpha = 3\sin\alpha-4\sin^3\alpha, \ \cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$

半角の公式

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}, \ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}$

$\tan^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$

三角関数の合成

$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$

積和・和積の公式

$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}$

$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}$

$\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}$

$\sin A+\sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

$\sin A-\sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$

$\cos A+\cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

$\cos A-\cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$

平均変化率：$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

微分係数：$f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

導関数：$(x^n)' = nx^{n-1}$

接線の方程式：$y-f(a) = f'(a)(x-a)$

法線の方程式：$y-f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x-a)$

不定積分と微積分の基本定理

$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$

$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$

1/6公式 (放物線と直線・放物線同士)

$\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$

放物線と直線: 面積 $S = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$

放物線と放物線: 面積 $S = \frac{|a_1-a_2|}{6}(\beta-\alpha)^3$

1/3公式 (放物線と接線)

$\int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2 dx = \frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3$

面積 $S = \frac{|a|}{3}|k-\alpha|^3$

1/12公式 (放物線と2接線 / 3次関数と接線)

$\int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2(x-\beta) dx = -\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4$

放物線と2接線 $S_2 = \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3 \quad (S_1:S_2=2:1)$

3次関数と接線 $S = \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4$