数学I
数と式
高校数学の基礎。展開・因数分解は全ての分野で使われる最重要項目です。
展開・因数分解の公式
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$
$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
実数の分類
実数 = 有理数 + 無理数
有理数 = 整数 + 少数(循環小数)
無理数 = 少数(非循環小数)
剰余の定理・因数定理
多項式$P(x)$を$x-k$で割った余りは$P(k)$
$P(k)=0$ならば、$P(x)$は$x-k$を因数にもつ
絶対値の性質
定義：$|x| = \begin{cases} x & (x \ge 0) \\ -x & (x < 0) \end{cases}$
$\sqrt{x^2} = |x|$
$|ab| = |a||b|$
$\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$
三角不等式：$|a+b| \le |a|+|b|$
絶対値を含む方程式・不等式
$|x|=a \iff x=\pm a$
$|x| < a \iff -a < x < a$
$|x| > a \iff x < -a, a < x$
（$a > 0$とする）
集合と命題
論理的思考の基礎を築く分野。特に必要十分条件の理解がゴールです。
ド・モルガンの法則
$\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$
$\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$
命題
$P \implies Q$ が真のとき、
$P$は$Q$であるための十分条件
$Q$は$P$であるための必要条件
2次関数
グラフの平行移動、最大・最小問題が頻出。平方完成と判別式は必須ツールです。
一般形と標準形
**一般形**: $y = ax^2 + bx + c$
**標準形**: $y = a(x-p)^2 + q$
このとき、**頂点の座標**は $(p, q)$
平方完成
一般形から標準形への変形
$$ax^2+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a}$$
**頂点の座標**: $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)$
解の公式と判別式
**解の公式**: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
**判別式**: $D = b^2-4ac$
$D>0$: 異なる2つの実数解
$D=0$: 重解
$D<0$: 異なる2つの虚数解
図形と計量
正弦定理と余弦定理が最重要。これらを使いこなすことが高得点の鍵です。
正弦定理
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
余弦定理
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
三角比の相互関係
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
$1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$
三角形の面積
$S = \frac{1}{2}bc\sin A$
ヘロンの公式: $s = \frac{a+b+c}{2}, S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
角の二等分線の性質・中線定理
角の二等分線：$AB:AC = BD:DC$
中線定理：$AB^2+AC^2 = 2(AM^2+BM^2)$
データの分析
新課程で仮説検定が追加。分散や相関係数の計算は必須です。
分散と標準偏差
$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$
$s = \sqrt{s^2}$
相関係数
$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y}$
数学A
場合の数と確率
公式暗記よりも、樹形図などを活用し、手を動かして考えることが重要です。
順列と組み合わせ
順列：$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$
重複順列：$n^r$
円順列：$(n-1)!$
組み合わせ：$C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
確率の定義と定理
確率：$P(A) = \frac{n(A)}{n(U)}$
加法定理：$P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)$
独立試行：$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
条件付き確率：$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
反復試行の確率
1回の試行で事象Aが起こる確率を$p$とする。この試行を$n$回繰り返すとき、$n$回のうちちょうど$k$回だけ事象Aが起こる確率は、
$P = _nC_k p^k (1-p)^{n-k}$
図形の性質
「直角」「相似」「同一円周上」を見抜く力が試されます。補助線が鍵となる難関分野です。
三角形の五心
重心：中線の交点
外心：垂直二等分線の交点
内心：角の二等分線の交点
垂心：垂線の交点
傍心：内角の二等分線と2つの外角の二等分線の交点
チェバの定理・メネラウスの定理
チェバ：$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$
メネラウス：$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$
方べきの定理
$PA \cdot PB = PC \cdot PD$
$PA \cdot PB = PT^2$
接弦定理・トレミーの定理
接弦定理：接線と弦のなす角は、その弦が円周上につくる角に等しい。
トレミーの定理：円に内接する四角形ABCDにおいて、
$AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD$
整数の性質
約数や倍数、素数、最大公約数など、数の性質を深く掘り下げます。
ユークリッドの互除法
2つの整数 $a, b$ ($a>b$) の最大公約数は、$a$ を $b$ で割った余りを $r$ とすると、$b$ と $r$ の最大公約数に等しい。
合同式
$a \equiv b \pmod{m}$
数学II
式と証明
二項定理や相加・相乗平均など、後の分野で応用される重要な証明法を学びます。
二項定理
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n,k) a^{n-k}b^k$
相加・相乗平均の不等式
$a>0, b>0$ のとき $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$
等号成立は $a=b$ のとき
複素数と方程式
虚数単位$i$を導入し、数の世界を拡張します。解と係数の関係が重要です。
複素数の定義と計算
$i^2 = -1$
$\alpha = a+bi$, $\beta = c+di$
加法: $\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)i$
減法: $\alpha-\beta=(a-c)+(b-d)i$
共役な複素数の性質
$\overline{\alpha+\beta} = \bar{\alpha}+\bar{\beta}$
$\overline{\alpha-\beta} = \bar{\alpha}-\bar{\beta}$
$\overline{\alpha\beta} = \bar{\alpha}\bar{\beta}$
$\overline{\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)} = \frac{\bar{\alpha}}{\bar{\beta}} \quad (\beta \ne 0)$
$\overline{\bar{\alpha}} = \alpha$
$\alpha + \bar{\alpha}$ は実数
複素数の絶対値の性質
$|z|=0 \iff z=0$
$|z| = |-z| = |\bar{z}|$
$z\bar{z} = |z|^2$
$|\alpha\beta| = |\alpha||\beta|$
$\left|\frac{\alpha}{\beta}\right| = \frac{|\alpha|}{|\beta|} \quad (\beta \ne 0)$
解と係数の関係 (2次・3次)
2次：$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$, $\alpha\beta = \frac{c}{a}$
3次：$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a}$
$\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$
高次方程式・相反方程式
相反方程式：係数が左右対称の多項式方程式
例：$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$
図形と方程式
座標平面上で図形を扱います。点と直線の距離の公式は頻出です。
内分点・外分点・中点
2点 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ を $m:n$ に内分する点 $P$ の座標は、
$\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n}, \frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)$
2点 $A, B$ を $m:n$ に外分する点 $Q$ の座標は、
$\left(\frac{-nx_1+mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1+my_2}{m-n}\right)$
線分 $AB$ の中点 $M$ の座標は、
$\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
点と直線の距離
$d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
円の方程式
中心 $(a, b)$, 半径 $r$ の円: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
中心が原点 $(0, 0)$ の円: $x^2+y^2=r^2$
円の接線の方程式
円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線:
$x_1x+y_1y=r^2$
円 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線:
$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$
円外の点 $(x_1, y_1)$ からの接線:
円の中心から接線までの距離が半径に等しいことを利用して求める
三角関数
加法定理から派生する多くの公式を使いこなすことが求められます。
三角関数の変換公式
$\sin(-\theta) = -\sin\theta$
$\cos(-\theta) = \cos\theta$
$\tan(-\theta) = -\tan\theta$
$\sin(90^\circ-\theta) = \cos\theta$
$\cos(90^\circ-\theta) = \sin\theta$
$\tan(90^\circ-\theta) = \frac{1}{\tan\theta}$
$\sin(90^\circ+\theta) = \cos\theta$
$\cos(90^\circ+\theta) = -\sin\theta$
$\tan(90^\circ+\theta) = -\frac{1}{\tan\theta}$
$\sin(180^\circ-\theta) = \sin\theta$
$\cos(180^\circ-\theta) = -\cos\theta$
$\tan(180^\circ-\theta) = -\tan\theta$
$\sin(180^\circ+\theta) = -\sin\theta$
$\cos(180^\circ+\theta) = -\cos\theta$
$\tan(180^\circ+\theta) = \tan\theta$
加法定理
$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$
$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$
2倍角・3倍角・半角の公式
$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$
$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$
$\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$
$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$
$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}$
$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}$
$\tan^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$
積和・和積の公式
$ \sin A \cos B = \frac{1}{2}\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\} $
$ \cos A \sin B = \frac{1}{2}\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\} $
$ \cos A \cos B = \frac{1}{2}\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\} $
$ \sin A \sin B = -\frac{1}{2}\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\} $
$ \sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $
$ \sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $
$ \cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $
$ \cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $
指数・対数関数
指数法則と対数の性質を理解し、計算に習熟することが重要です。
指数法則
$a^m a^n = a^{m+n}$
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
$(a^m)^n = a^{mn}$
$(ab)^n = a^n b^n$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$
$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$
対数の性質と底の変換公式
$\log_a MN = \log_a M + \log_a N$
$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$
$\log_a M^p = p \log_a M$
$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$
微分法と積分法
様々な関数の微分・積分を学び、応用問題を解く力が求められます。
基本的な関数の微分
$(x^n)' = nx^{n-1}$
$(e^x)' = e^x$
$(a^x)' = a^x \log a$
$(\log x)' = \frac{1}{x}$
$(\log_a x)' = \frac{1}{x \log a}$
$(\sin x)' = \cos x$
$(\cos x)' = -\sin x$
$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
微分法：計算規則
$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$
$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
$(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$
$\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \quad \text{(合成関数の微分)}$
極限の公式
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$
$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$
定理（中間値、平均値、ロピタルの定理）
中間値の定理:
関数$f(x)$が$[a, b]$で連続で、$f(a) \ne f(b)$ならば、
$f(a)$と$f(b)$の間の任意の値$k$に対して、$f(c)=k$となる$c$が$(a, b)$に存在する。
特に、$f(a)f(b)<0$ならば、$f(c)=0$となる$c$が$(a, b)$に存在する。
平均値の定理:
関数$f(x)$が$[a, b]$で連続、$(a, b)$で微分可能ならば、
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$となる$c$が$(a, b)$に存在する。
ロピタルの定理:
$\lim_{x\to a}f(x)=0, \lim_{x\to a}g(x)=0$ または $\lim_{x\to a}|f(x)|=\infty, \lim_{x\to a}|g(x)|=\infty$ で、
$\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$が存在するとき、$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
不定積分の公式
$\int \sin x dx = -\cos x + C$
$\int \cos x dx = \sin x + C$
$\int \tan x dx = -\log|\cos x| + C$
$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$
$\int e^x dx = e^x + C$
$\int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C$
$\int \frac{1}{x} dx = \log|x| + C$
置換積分法
$$ \int f(g(x))g'(x) dx = \int f(t) dt \quad (t=g(x)) $$
部分積分法
$$ \int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx $$
媒介変数表示の積分
$$ \int_a^b y dx = \int_\alpha^\beta y(\theta) \frac{dx}{d\theta} d\theta $$
（ただし、$x=x(\theta), y=y(\theta)$ で、$x$が$a$から$b$まで増加するのに伴って、$\theta$が$\alpha$から$\beta$まで増加するとします。）
積分の面積公式
$ \int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 $
放物線と直線: $ S = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3 $
放物線と放物線: $ S = \frac{|a_1-a_2|}{6}(\beta-\alpha)^3 $
放物線と接線: $ S = \frac{|a|}{3}|k-\alpha|^3 $
放物線と2接線: $ S_2 = \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3 \quad (S_1:S_2=2:1) $
3次関数と接線: $ S = \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4 $
数学B
数列
漸化式が最頻出。様々なパターンの解法をマスターすることが目標です。
等差数列の一般項
初項 $a$、公差 $d$ の等差数列 $a_n$ の一般項は
$a_n = a + (n-1)d$
等差数列の和の公式
初項 $a$、公差 $d$、末項 $l$、項数 $n$ の等差数列の和を $S_n$ とすると
$S_n = \frac{1}{2}n(a+l)$
$S_n = \frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}$
等比数列の一般項
初項 $a$、公比 $r$ の等比数列 $a_n$ の一般項は
$a_n = ar^{n-1}$
等比数列の和の公式
初項 $a$、公比 $r$、項数 $n$ の等比数列の和を $S_n$ とすると
① $r \neq 1$ のとき：$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$
② $r = 1$ のとき：$S_n = na$
Σ (シグマ) の公式
$ \sum_{k=1}^n a = na $
$ \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1) $
$ \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $
$ \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 $
$ \sum_{k=1}^n ar^{k-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \quad (r \neq 1) $
$ \sum_{k=1}^n c \cdot a_k = c \sum_{k=1}^n a_k $
$ \sum_{k=1}^n (a_k \pm b_k) = \sum_{k=1}^n a_k \pm \sum_{k=1}^n b_k $
漸化式パターン別解法
**1. 等差型・等比型**
$$ a_{n+1} = a_n + d \quad \text{(等差数列)} $$
$$ a_{n+1} = r a_n \quad \text{(等比数列)} $$
**2. $a_{n+1} = p a_n + q$ 型**
特性方程式 $\alpha = p\alpha + q$ を解き、変形する。
$$ a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha) $$
$b_n = a_n - \alpha$ とおくと、これは等比数列になる。
**3. $a_{n+1} = p a_n + q^n$ 型**
両辺を $q^{n+1}$ または $q^n$ で割る。
$$ \frac{a_{n+1}}{q^{n+1}} = \frac{p}{q} \frac{a_n}{q^n} + \frac{1}{q} $$
**4. $a_{n+1} = p a_n + q$ の特殊解**
$a_n = C$ とおき、$C = pC + q$ より $C$ を求める。
**5. $a_{n+1} = p a_n + qn + r$ 型**
$a_n = An+B$ とおいて係数を比較する。
統計的な推測
新課程で必修化。確率とデータの分析を融合した分野です。
期待値と分散
$E(X) = \sum x_i p_i$
$V(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$
正規分布
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ の確率密度関数は
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
数学C
ベクトル
図形問題を計算で解く強力なツール。特に計算の基本法則、内積、位置ベクトルを使いこなすことが重要です。
ベクトルの計算法則
加法と交換・結合法則
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
逆ベクトルと零ベクトル
$\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$
$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
実数倍の法則
$k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a}$
$(k+l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$
$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
ベクトルの平行条件
$\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$ のとき
$\vec{a} // \vec{b} \iff \vec{b} = k\vec{a}$ となる実数 $k$ が存在する
ベクトルの分解
$\vec{a}, \vec{b}$ が $\vec{0}$ でなく平行でないとき
$\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b}$
$s\vec{a} + t\vec{b} = s'\vec{a} + t'\vec{b} \iff s=s', t=t'$
成分表示と大きさ
成分による演算 (2D)
$\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)$ のとき
$\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1, a_2+b_2)$
$\vec{a} - \vec{b} = (a_1-b_1, a_2-b_2)$
$k\vec{a} = (ka_1, ka_2)$
ベクトルの大きさ (2D/3D)
$\vec{a} = (a_1, a_2)$ のとき $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$
$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ のとき $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
2点間のベクトルと距離
$A(a_1, a_2), B(b_1, b_2)$ のとき
$\vec{AB} = (b_1-a_1, b_2-a_2)$
$|\vec{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2}$
内積と面積
内積の定義
$\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
内積と成分 (2D/3D)
$\vec{a}=(a_1, a_2), \vec{b}=(b_1, b_2) \implies \vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1+a_2b_2$
$\vec{a}=(a_1, a_2, a_3), \vec{b}=(b_1, b_2, b_3) \implies \vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
内積の性質
$\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$
$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$
$(k\vec{a})\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot(k\vec{b}) = k(\vec{a}\cdot\vec{b})$
$\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$
なす角の公式 (2D/3D)
$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$
$\cos\theta = \frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$
垂直条件
$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
三角形の面積
$S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a}\cdot\vec{b})^2}$
成分表示：$S = \frac{1}{2}|a_1b_2 - a_2b_1|$
位置ベクトルと方程式
内分点・外分点の位置ベクトル
内分点 $P$: $\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$
外分点 $Q$: $\vec{q} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n}$
三角形の重心
$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$
直線のベクトル方程式
点$A$を通り、$\vec{d}$に平行：$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}$
2点$A,B$を通る：$\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$
点$A$を通り、$\vec{n}$に垂直：$(\vec{p}-\vec{a})\cdot\vec{n} = 0$
ベクトルの終点の存在範囲
$\vec{p} = s\vec{a}+t\vec{b}$
$s+t=1$：直線AB
$s+t=1, s \ge 0, t \ge 0$：線分AB
$0 \le s \le 1, 0 \le t \le 1$：平行四辺形OACB
$s \ge 0, t \ge 0, s+t \le 1$：△OABの周と内部
円のベクトル方程式
中心C、半径r：$|\vec{p}-\vec{c}|=r$
線分ABを直径とする：$(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0$
数学Ⅲ
複素数平面
複素数を図形的に捉える分野。回転移動が特徴的です。
ド・モアブルの定理
$(r(\cos\theta + i\sin\theta))^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$
極形式と絶対値
$z=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)$
$r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}$
$\theta = \arg z$
複素数の積と商
$z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$, $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$のとき
積: $z_1z_2 = r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}$
・$|z_1z_2| = |z_1||z_2|$
・$\arg(z_1z_2) = \arg z_1 + \arg z_2$
商: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\}$
・$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$
・$\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg z_1 - \arg z_2$
1のn乗根
1の$n$乗根は、次の$n$個の複素数です。
$z_k = \cos\left(\frac{2\pi}{n}k\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{n}k\right)$
($k = 0, 1, 2, \dots, n-1$)
式と曲線
円錐曲線（放物線、楕円、双曲線）の性質を学びます。
放物線
定義：定点F(焦点)と定直線l(準線)からの距離が等しい点の軌跡
方程式：$y^2 = 4px$
楕円
定義：2つの定点F, F'からの距離の和が一定である点の軌跡
方程式：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
双曲線
定義：2つの定点F, F'からの距離の差が一定である点の軌跡
方程式：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
微分法と積分法
様々な関数の微分・積分を学び、応用問題を解く力が求められます。
基本的な関数の微分
$(x^n)' = nx^{n-1}$
$(e^x)' = e^x$
$(a^x)' = a^x \log a$
$(\log x)' = \frac{1}{x}$
$(\log_a x)' = \frac{1}{x \log a}$
$(\sin x)' = \cos x$
$(\cos x)' = -\sin x$
$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
微分法：計算規則
$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$
$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
$(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$
$\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \quad \text{(合成関数の微分)}$
極限の公式
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$
$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$
定理（中間値、平均値、ロピタルの定理）
中間値の定理:
関数$f(x)$が$[a, b]$で連続で、$f(a) \ne f(b)$ならば、
$f(a)$と$f(b)$の間の任意の値$k$に対して、$f(c)=k$となる$c$が$(a, b)$に存在する。
特に、$f(a)f(b)<0$ならば、$f(c)=0$となる$c$が$(a, b)$に存在する。
平均値の定理:
関数$f(x)$が$[a, b]$で連続、$(a, b)$で微分可能ならば、
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$となる$c$が$(a, b)$に存在する。
ロピタルの定理:
$\lim_{x\to a}f(x)=0, \lim_{x\to a}g(x)=0$ または $\lim_{x\to a}|f(x)|=\infty, \lim_{x\to a}|g(x)|=\infty$ で、
$\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$が存在するとき、$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
不定積分の公式
$\int \sin x dx = -\cos x + C$
$\int \cos x dx = \sin x + C$
$\int \tan x dx = -\log|\cos x| + C$
$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$
$\int e^x dx = e^x + C$
$\int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C$
$\int \frac{1}{x} dx = \log|x| + C$
置換積分法
$$ \int f(g(x))g'(x) dx = \int f(t) dt \quad (t=g(x)) $$
部分積分法
$$ \int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx $$
媒介変数表示の積分
$$ \int_a^b y dx = \int_\alpha^\beta y(\theta) \frac{dx}{d\theta} d\theta $$
（ただし、$x=x(\theta), y=y(\theta)$ で、$x$が$a$から$b$まで増加するのに伴って、$\theta$が$\alpha$から$\beta$まで増加するとします。）
積分の面積公式
$ \int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 $
放物線と直線: $ S = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3 $
放物線と放物線: $ S = \frac{|a_1-a_2|}{6}(\beta-\alpha)^3 $
放物線と接線: $ S = \frac{|a|}{3}|k-\alpha|^3 $
放物線と2接線: $ S_2 = \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3 \quad (S_1:S_2=2:1) $
3次関数と接線: $ S = \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4 $