中学1年 公式一覧
正の数・負の数 / 文字の式
計算の法則
交換法則：$a+b = b+a, \ a \times b = b \times a$
結合法則：$(a+b)+c = a+(b+c)$
分配法則：$a(b+c) = ab+ac$
絶対値
数直線上で、原点からある数までの距離。
例：$|+5| = 5, \ |-3| = 3$
文字式の表し方のルール
・$\times$ (かける) は省く：$a \times b \implies ab$
・数は文字の前に：$x \times 3 \implies 3x$
・$1$ や $-1$ の $1$ は省く：$1 \times x \implies x$
・$\div$ (わる) は分数に：$a \div b \implies \frac{a}{b}$
方程式
等式の性質
$A = B$ ならば
① $A+C = B+C$ (両辺に同じ数を足す)
② $A-C = B-C$ (両辺から同じ数を引く)
③ $AC = BC$ (両辺に同じ数をかける)
④ $\frac{A}{C} = \frac{B}{C} \ (C \neq 0)$ (両辺を同じ数でわる)
移項
項の符号を変えて、等号の反対側に移すこと。
比例と反比例
比例
式：$y = ax$
($a$ は比例定数)
特徴：$x$ が2倍、3倍になると、$y$ も2倍、3倍になる。グラフは原点を通る直線。
反比例
式：$y = \frac{a}{x} \quad (xy = a)$
($a$ は比例定数)
特徴：$x$ が2倍、3倍になると、$y$ は$\frac{1}{2}$倍、$\frac{1}{3}$倍になる。グラフは双曲線。
平面図形・空間図形
おうぎ形
半径を $r$、中心角を $a^\circ$、弧の長さを $l$、面積を $S$ とすると
弧の長さ：$l = 2\pi r \times \frac{a}{360}$
面積：$S = \pi r^2 \times \frac{a}{360}$
面積の別公式：$S = \frac{1}{2}lr$
立体の体積と表面積
底面積を $S$、高さを $h$ とする。
柱の体積：$V = Sh$
錐(すい)の体積：$V = \frac{1}{3}Sh$
球 (半径 $r$)
球の体積：$V = \frac{4}{3}\pi r^3$
球の表面積：$S = 4\pi r^2$
データの活用
代表値と度数
平均値：データの合計 $\div$ データの個数
中央値 (メジアン)：データを大きさ順に並べたときの中央の値。
最頻値 (モード)：最も多く現れる値。
相対度数
相対度数 $= \frac{\text{その階級の度数}}{\text{度数の合計}}$
中学2年 公式一覧
式の計算 / 連立方程式
等式の変形
方程式と同じように移項や両辺の掛け割りを行い、目的の文字「$x = \dots$」の形にする。
例：$y = ax+b$ を $x$ について解く
$\implies ax = y-b \implies x = \frac{y-b}{a}$
連立方程式の解き方
・加減法：2つの式の辺々を足したり引いたりして、1つの文字を消去する。
・代入法：一方の式を $x = \dots$ ($y = \dots$) の形にし、もう一方の式に代入する。
1次関数
1次関数の式と変化の割合
式：$y = ax + b$
($a$ は傾き または 変化の割合、$b$ は切片)
変化の割合
変化の割合 $= \frac{yの増加量}{xの増加量} = a$
直線の式の求め方
① 傾き $a$ と通る1点 $(p, q)$ が分かる場合：
$y = ax+b$ に代入して $b$ を求める。
② 通る2点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ が分かる場合：
傾き $a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ を計算してから代入するか、連立方程式で解く。
平行線・多角形・図形の合同
平行線と角
対頂角：常に等しい。
2直線が平行ならば：
・同位角は等しい。
・錯角は等しい。
(逆も成り立つ)
多角形の角
$n$角形の内角の和：$180^\circ \times (n-2)$
多角形の外角の和：常に $360^\circ$
三角形の合同条件
① 3組の辺がそれぞれ等しい。
② 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
③ 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
直角三角形の合同条件
① 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。
② 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。
四角形と確率
平行四辺形の性質と条件
性質 (すでに平行四辺形である)
① 2組の対辺はそれぞれ等しい。
② 2組の対角はそれぞれ等しい。
③ 対角線はそれぞれの中点で交わる。
平行四辺形になるための条件
上の性質3つ、または定義(2組の対辺が平行)、または
④ 1組の対辺が平行でその長さが等しい。
特別な平行四辺形
・長方形：4つの角がすべて等しい。
・ひし形：4つの辺がすべて等しい。
・正方形：4つの角が等しく、4つの辺も等しい。
確率
事象Aの起こる確率 $p$：
$p = \frac{\text{事象Aの起こる場合の数}}{\text{起こりうるすべての場合の数}}$
※すべての場合が「同様に確からしい」とする。
確率の範囲と「起こらない」確率
$0 \le p \le 1$
事象Aが起こらない確率 $= 1 - p$
中学3年 公式一覧
式の展開・因数分解 / 平方根
乗法公式 (展開と因数分解)
① $(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab$
② $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
③ $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
④ $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$
※右から左へ変形するのが因数分解。
共通因数でくくる $Ma+Mb = M(a+b)$ を常に最初に確認する。
平方根 (ルート)
$x^2 = a$ となるとき、$x$ を $a$ の平方根という。
正の数は $\sqrt{a}$、負の数は $-\sqrt{a}$
平方根の計算
$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
$\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b} \quad (a>0)$
有理化：分母の $\sqrt{a}$ をなくすために、分母と分子に $\sqrt{a}$ をかける。
2次方程式 / 関数 $y=ax^2$
2次方程式の解の公式
$ax^2+bx+c = 0 \ (a \neq 0)$ の解は
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
※因数分解ができる場合は $(x-p)(x-q)=0$ から $x=p, q$ とする。
関数 $y=ax^2$ の変化の割合
$y=ax^2$ において、$x$ の値が $p$ から $q$ まで増加するときの変化の割合は：
変化の割合 $= a(p+q)$
相似な図形 / 円 / 三平方の定理
相似条件と面積比・体積比
三角形の相似条件
① 3組の辺の比がすべて等しい。
② 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
③ 2組の角がそれぞれ等しい。
比の関係
相似比が $m : n$ のとき
面積比 $= m^2 : n^2$
体積比 $= m^3 : n^3$
中点連結定理
△ABCの辺AB, ACの中点M, Nについて
$MN \parallel BC, \ MN = \frac{1}{2}BC$
円の性質
円周角の定理
1つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の大きさの半分である。
$\angle APB = \frac{1}{2}\angle AOB$
同じ弧に対する円周角はすべて等しい。
半円の弧に対する円周角
直径に対する円周角は $90^\circ$ である。
三平方の定理 (ピタゴラスの定理)
直角三角形の斜辺を $c$、他の2辺を $a, b$ とすると
$a^2 + b^2 = c^2$
特別な直角三角形の辺の比
・$45^\circ-45^\circ-90^\circ$ (直角二等辺三角形)
$1 : 1 : \sqrt{2}$
・$30^\circ-60^\circ-90^\circ$ (正三角形の半分)
$1 : 2 : \sqrt{3}$ (斜辺が2)
よく出るピタゴラス数
$3:4:5, \ 5:12:13, \ 8:15:17$