微分積分学 公式一覧
級数展開
テイラー展開・マクローリン展開
テイラー展開 ($x=a$のまわり)：
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$
マクローリン展開 ($a=0$)
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$
$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots$
多変数関数の微分
全微分と合成関数の微分
全微分：$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$
合成関数の連鎖律：$z = f(x,y), x=x(t), y=y(t)$ のとき
$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$
極値問題
ヘッセ行列式 $H = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$
極値の判定条件 ($f_x=0, f_y=0$ にて)：
$H > 0$ かつ $f_{xx} > 0 \implies$ 極小値
$H > 0$ かつ $f_{xx} < 0 \implies$ 極大値
$H < 0 \implies$ 鞍点 (極値でない)
ラグランジュの未定乗数法
制約条件 $g(x,y)=0$ のもとでの $f(x,y)$ の極値：
$L = f - \lambda g$ とおき、$L_x=0, L_y=0, g=0$
重積分
変数変換とヤコビアン
ヤコビアン：
$J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$
変数変換：
$\iint_D f(x,y) dxdy =$
$\iint_E f(x(u,v), y(u,v)) |J| dudv$
極座標変換
$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ のとき
ヤコビアン $J = r$ より、
$dxdy = r drd\theta$
$\iint_D f(x,y) dxdy =$
$\iint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta) r drd\theta$
ガウス積分
$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$
線形代数学 公式一覧
行列式と逆行列
余因子展開と逆行列
余因子：$\Delta_{ij} = (-1)^{i+j} |A_{ij}|$
余因子展開 (第$i$行)：$|A| = \sum_{j=1}^n a_{ij} \Delta_{ij}$
逆行列の公式：$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A}$
($\tilde{A}$ は余因子行列、$\tilde{A}_{ij} = \Delta_{ji}$)
連立一次方程式
クラメルの公式：$Ax = b \ (|A| \neq 0)$
$x_j = \frac{|A_j|}{|A|}$
($A_j$は$A$の第$j$列を$b$に置き換えた行列)
解の存在条件 (Rouché-Capelli)
$\text{rank}(A) = \text{rank}(A | b)$ $\iff$ 解をもつ
固有値と対角化
特性方程式と固有ベクトル
固有方程式：$Ax = \lambda x \ (x \neq 0)$
特性方程式：$|\lambda I - A| = 0$
ケーリー・ハミルトンの定理
特製多項式 $\phi(\lambda) = |\lambda I - A|$ に対して、
$\phi(A) = O$ (零行列) が成り立つ。
行列の対角化
$n$個の線形独立な固有ベクトル $p_1, \dots, p_n$ が存在するとき、$P = (p_1 \dots p_n)$ とすると
$P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & O \\ & \ddots & \\ O & & \lambda_n \end{pmatrix}$
行列の$k$乗：$A^k = P \Lambda^k P^{-1}$
対称行列の性質
実対称行列は必ず直交行列で対角化可能。
異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する。
内積空間
内積とノルム
シュワルツの不等式：$|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\|$
三角不等式：$\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$
直交行列とユニタリ行列
直交行列：$A^T A = I, \ A^{-1} = A^T$
ユニタリ行列：$U^\dagger U = I, \ U^{-1} = U^\dagger$
グラム・シュミットの直交化法
一次独立なベクトル群 $\{v_1, v_2, \dots \}$ から直交系 $\{u_1, u_2, \dots \}$ を作る。
$u_1 = v_1$
$u_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{\langle v_k, u_i \rangle}{\|u_i\|^2} u_i$
正規直交系：$e_k = \frac{u_k}{\|u_k\|}$
ベクトル解析 公式一覧
微分演算子（ナブラ）
勾配(grad)・発散(div)
ナブラ演算子：$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$
勾配 (Gradient)
$\text{grad} f = \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$
スカラー場からベクトル場を生成。
発散 (Divergence)
$\text{div} \vec{A} = \nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$
ベクトル場からスカラー場を生成。湧き出し量。
回転(rot)とラプラシアン
回転 (Rotation / Curl)
$\text{rot} \vec{A} = \nabla \times \vec{A} =$
$\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$
ラプラシアン (Laplacian)
$\Delta f = \nabla^2 f = \text{div}(\text{grad} f)$
$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$
恒等式
$\text{rot}(\text{grad} f) = \vec{0}$
$\text{div}(\text{rot} \vec{A}) = 0$
ベクトル積分定理
ガウスの発散定理
閉曲面$S$で囲まれた体積$V$に対して、
$\iiint_V (\nabla \cdot \vec{A}) dV = \iint_S \vec{A} \cdot \vec{n} dS$
（湧き出しの総和＝表面から抜け出るフラックス）
グリーンの定理 (2次元)
$\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = \oint_C P dx + Q dy$
ストークスの定理
閉曲線$C$を境界とする曲面$S$に対して、
$\iint_S (\nabla \times \vec{A}) \cdot \vec{n} dS = \oint_C \vec{A} \cdot d\vec{r}$
（回転の面積分＝境界に沿った線積分）
保存力場の条件
$\text{rot} \vec{A} = \vec{0}$ のとき、線積分は経路に依存しない。スカラーポテンシャル $\phi$ が存在し $\vec{A} = \text{grad} \phi$。
複素関数論 公式一覧
正則関数とオイラーの公式
オイラーの公式と基本関数
オイラーの公式：$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
指数関数：$e^z = e^x(\cos y + i\sin y)$
三角関数：$\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, \cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$
双曲線関数：$\sinh z = \frac{e^z-e^{-z}}{2}, \cosh z = \frac{e^z+e^{-z}}{2}$
対数関数（主値）：$\log z = \log|z| + i \arg z \quad (-\pi < \arg z \le \pi)$
コーシー・リーマンの方程式
複素関数 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ が正則（微分可能）であるための必要十分条件：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$
調和関数
正則関数の実部 $u$ と虚部 $v$ はラプラス方程式を満たす：
$\Delta u = 0, \quad \Delta v = 0$
積分と留数定理
コーシーの定理・公式
積分定理：$C$ 内で正則なら $\oint_C f(z) dz = 0$
積分公式：$f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz$
高階導関数：$f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} dz$
ローラン展開と留数定理
展開：$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-a)^n$
留数：$\text{Res}(f, a) = c_{-1}$
留数定理：
$\oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum_{k=1}^m \text{Res}(f, z_k)$
常微分方程式 公式一覧
1階常微分方程式
変数分離形と同次形
変数分離形
$y' = f(x)g(y) \implies \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx + C$
同次形
$y' = f\left(\frac{y}{x}\right)$ は、$u = \frac{y}{x}$ と置く。
$xu' + u = f(u) \implies \int \frac{du}{f(u)-u} = \int \frac{dx}{x}$
1階線形と完全微分方程式
1階線形微分方程式
$y' + P(x)y = Q(x)$ の一般解：
$y = e^{-\int P dx} \left( \int Q e^{\int P dx} dx + C \right)$
ベルヌーイの微分方程式
$y' + P(x)y = Q(x)y^n \quad (n \neq 0, 1)$
$u = y^{1-n}$ とおいて線形微分方程式に帰着。
完全微分方程式
$Pdx + Qdy = 0$ が $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ を満たすとき、ポテンシャル関数 $\Phi(x,y) = C$ が解となる。
2階線形常微分方程式
定係数同次線形微分方程式
$ay'' + by' + cy = 0$
特性方程式：$a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$ の解 $\lambda_1, \lambda_2$ により分類：
1. 異なる2つの実数解
$y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$
2. 実数の重解 $\lambda$
$y = (C_1 + C_2 x) e^{\lambda x}$
3. 複素数解 $\lambda = \alpha \pm i\beta$
$y = e^{\alpha x} (C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$
フーリエ・ラプラス解析 公式一覧
フーリエ級数
フーリエ級数展開
周期 $2L$ の関数 $f(x)$ の展開：
$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\frac{n\pi x}{L} + b_n \sin\frac{n\pi x}{L} \right)$
フーリエ係数
$a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\frac{n\pi x}{L} dx$
$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\frac{n\pi x}{L} dx$
複素フーリエ級数
$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\frac{n\pi x}{L}}$
$c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) e^{-i\frac{n\pi x}{L}} dx$
フーリエ変換
フーリエ変換と逆変換
フーリエ変換：
$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$
逆フーリエ変換：
$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega$
パーセバルの等式
$\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 d\omega$
微分のフーリエ変換
$\mathcal{F}[f'(t)] = i\omega F(\omega)$
ラプラス変換
定義と主要な変換表
定義：$\mathcal{L}[f(t)] = F(s) = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt$
主要な変換公式
$\mathcal{L}[1] = \frac{1}{s}, \quad \mathcal{L}[t^n] = \frac{n!}{s^{n+1}}$
$\mathcal{L}[e^{at}] = \frac{1}{s-a}$
$\mathcal{L}[\sin\omega t] = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}$
$\mathcal{L}[\cos\omega t] = \frac{s}{s^2+\omega^2}$
微分・積分の変換
$\mathcal{L}[f'(t)] = sF(s) - f(0)$
$\mathcal{L}[f''(t)] = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)$
たたみ込み積分 (合成積)
$\mathcal{L}\left[ \int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau \right] = F(s)G(s)$