「足して2で割る」のはなぜ？ 2点間の中点の求め方の理由
数直線上や座標平面上で2点の中点（真ん中の点）を求めるとき、「座標を足して2で割る」と習います。なぜその簡単な計算で求まるのか、教科書の論理、平均の考え方、図形的な移動の視点からスッキリ解き明かします。
1. 数直線上の2点間の中点（1次元）
まずは具体的な数字で考えてみよう
数直線上に点 $A(2)$ と 点 $B(8)$ があるとします。
2と8のちょうど真ん中にある数は何でしょうか？ 距離が「3」ずつ離れている「5」だと分かりますね。
負の数が含まれていても考え方は同じです。例えば点 $A(-4)$ と 点 $B(6)$ ならどうでしょうか。
距離が「5」ずつ離れている「1」が真ん中の数になりますね。
図からは真ん中の数が「5」や「1」だと分かります。実はこのように「2つの数のちょうど真ん中」を求めることは、テストの「平均点」を出すのと同じ考え方です。
しかし、毎回図を描いて数えたりするのは大変です。平均点を出すように、計算だけでポンっと求めるにはどうしたら良いでしょうか。
どんな数であっても計算で真ん中の点（中点）を求められるように、文字 $a, b, m$ を使って一般化し、計算方法を見つけてみましょう。ここでは分かりやすく $a < b$ として考えます。
「中点」とは、2つの点 $A(a)$ と $B(b)$ からちょうど等しい距離にある点 $M(m)$ のことです。
点 $A$ と点 $M$ の距離、点 $M$ と点 $B$ の距離が等しいことから方程式を作ります。
距離が等しいという「中点の定義」そのものから出発すると、自然とこの公式が導かれます。これが教科書で最も一般的に扱われる論理です。
冒頭で考えた点 $A(2)$ と 点 $B(8)$ の場合、「2と8を足して2で割る」という計算操作は、数直線上では「長さを繋げて半分にする」ことに対応します。
① 足し算（$2+8$）： 原点（0）から距離「2」の線分と、距離「8」の線分をくっつけて、長さ「10」の長い線分を作ります。
② 2で割る（$\div 2$）： その長い線分を真っ二つに半分に切ります。
すると、長さ「5」の線分が完成します。数直線上の座標は「原点からの距離」を表しているため、この長さ「5」がそのまま真ん中の点の座標になります。
では、同じく冒頭で考えたマイナスの数が混ざっている場合（点 $A(-4)$ と 点 $B(6)$）はどうでしょうか。これも「向きを持った長さ」として同じように計算できます。
① 足し算（$(-4)+6$）： 原点から左向きに「4」進んだ後、そこから右向きに「6」進みます。結果的に、原点から右向きに長さ「2」の線分が残ります。
② 2で割る（$\div 2$）： その残った長さ「2」の線分を真っ二つに半分に切ります。
すると、長さ「1」の線分になり、これも先ほど図で確認した真ん中の座標「1」と一致します。
つまり、2つの座標を足して2で割るという計算は、正の数でも負の数でも「2つの長さをガッチャンコして、半分に切り分ける」という物理的な操作をしており、その結果が2つの数の真ん中（平均）とピタリと一致するのです。
今度は「点 $A$ をスタート地点として、ゴール（点 $B$）までの道のりの半分だけ進んだ場所が中点である」と考えて式を立ててみます。
このように、「始点から半分進む」という物理的な動きを式に直して計算しても、見事に同じ公式にたどり着くことが分かります。
数直線上の2点間の中点の公式
中点を求める際に、
「差をとって2で割る」 $ \left( \frac{b-a}{2} \right) $
と勘違いしてしまうミスが非常に多いです。
しかし、これは「2つの点の距離（間隔）の半分」を求めただけであり、座標（場所）を表していません。必ず「足して」2で割るようにしましょう。
冒頭で考えた 点 $A(-4)$ と 点 $B(6)$ の中点も、この公式に当てはめてみましょう。
図で数えて求めた真ん中の数「1」と見事に一致しましたね！
座標がマイナスであっても、この公式はそのまま使えます。
高校数学（数学Ⅱ）では、線分を $m:n$ の比に分ける「内分点の公式」を学びます。
数直線上の内分点公式は $ \frac{na + mb}{m+n} $ です。
中点は、線分を「$1:1$ に内分する点（$m=1, n=1$）」であるため、この公式に当てはめると、
$ \displaystyle \frac{1 \cdot a + 1 \cdot b}{1 + 1} = \frac{a+b}{2} $
となり、中点の公式そのものになります。
2. 座標平面上の2点間の中点（2次元）
座標平面上の2点間の距離や中点を求める公式として本格的に定式化して学ぶのは、実は高校数学（数学Ⅱ「図形と方程式」）になります。
しかし、この公式の理由は中学校で習う図形の性質（平行線と線分の比）を使えば、中学生でも十分に証明し、理解することができます。
座標平面上の2点 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ の中点を $M$ とします。このとき、中点 $M$ の座標はどのように求まるのでしょうか？
平面になっても、数直線のときと本質は全く同じです。その具体的な証明を見てみましょう。
【証明】
点 $A, M, B$ のそれぞれから $x$軸に垂直な線を下ろし、$x$軸との交点をそれぞれ $A', M', B'$ とします。
この3本の垂線はすべて $x$軸に垂直であるため、互いに平行です。
点 $M$ は線分 $AB$ の中点なので、$AM : MB = 1 : 1$ です。
中学校で学ぶ「平行線と線分の比の定理」により、平行線によって切り取られる線分の比は等しくなるため、$x$軸上の線分についても $A'M' : M'B' = 1 : 1$ が成り立ちます。
これはつまり、点 $M'$ が線分 $A'B'$ の中点であることを意味します。
点 $A'$ の座標は $x_1$、点 $B'$ の座標は $x_2$ です。数直線上（1次元）の中点の公式により、点 $M'$ の座標は $\frac{x_1+x_2}{2}$ となります。
この値がそのまま、点 $M$ の $x$座標になります。
全く同じように、$y$軸についても考えます。
点 $A, M, B$ のそれぞれから $y$軸に垂直な線を下ろし、$y$軸との交点をそれぞれ $A'', M'', B''$ とします。
この3本の垂線はすべて $y$軸に垂直であるため、互いに平行です。
点 $M$ は線分 $AB$ の中点なので、$AM : MB = 1 : 1$ です。
「平行線と線分の比の定理」により、平行線によって切り取られる線分の比は等しくなるため、$y$軸上の線分についても $A''M'' : M''B'' = 1 : 1$ が成り立ちます。
これはつまり、点 $M''$ が線分 $A''B''$ の中点であることを意味します。
点 $A''$ の座標は $y_1$、点 $B''$ の座標は $y_2$ です。数直線上（1次元）の中点の公式により、点 $M''$ の座標は $\frac{y_1+y_2}{2}$ となります。
この値がそのまま、点 $M$ の $y$座標になります。（証明終わり）
1次元の「アプローチ③」で考えた「スタート地点から距離（変化量）の半分だけ進む」という考え方を、$x$座標と$y$座標のそれぞれに適用し、式変形（文字式の計算）で丁寧に証明してみましょう。
平面上の移動は、横（$x$軸方向）の移動と縦（$y$軸方向）の移動に分けて独立して計算できます。
点 $A(x_1, y_1)$ から点 $B(x_2, y_2)$ への移動量は、
・$x$方向の移動量（横の距離）： $x_2 - x_1$
・$y$方向の移動量（縦の距離）： $y_2 - y_1$
となります。
中点 $M$ は、点 $A$ をスタートしてそれぞれの移動量の「半分」だけ進んだ場所にあります。これを式にすると次のようになります。
計算の結果、$x$座標も$y$座標も、それぞれを「足して2で割る」式になりました。
1次元の時と同じように、計算を進めると、結果的に「$x$座標同士で平均を取り、$y$座標同士で平均を取る」という美しい形が証明されるのです。
平面上の2点間の中点の公式
2点 $A, B$ が向かい合う角になるような長方形を想像してください。
線分 $AB$ はその長方形の「対角線」になります。
中点 $M$ は対角線の交点であり、図形の対称性からも、縦横それぞれ半分ずつ移動した場所であることが直感的に分かります。
平面上でも、線分を $m:n$ に分ける「内分点の公式」が存在します。
$ \displaystyle \left( \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n} \right) $
中点は「$1:1$ の内分点（$m=1, n=1$）」なので、これに代入すると、
$ \displaystyle \left( \frac{1 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2}{1 + 1}, \frac{1 \cdot y_1 + 1 \cdot y_2}{1 + 1} \right) $
となり、結果として $ \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) $ が導かれます。