本質から理解する数学・疑問解決編

直感のズレを解消！反復試行の確率と「平均」の罠

「勝率3/5なら、5試合して3勝2敗になる確率も3/5ではないのか？」
多くの高校生が陥る直感と公式のズレを、図解を用いて視覚的に解き明かします。

1. 問題の確認と「直感」とのズレ

【例題】

🏓 卓球の選手A、Bが試合をすると、AがBに勝つ確率は $\frac{3}{5}$ である。AがBと5試合行って、3勝2敗となる確率を求めよ。（※各試合は独立とする）

この問題は「反復試行の確率」の公式 ${}_n\mathrm{C}_r p^r (1-p)^{n-r}$ を使うと機械的に解くことができます。

【ア：公式による計算】 $ {}_5\mathrm{C}_3 \left(\frac{3}{5}\right)^3 \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 10 \times \frac{27}{125} \times \frac{4}{25} = \frac{216}{625} $

🤔 ここで湧き上がる疑問

「AがBに勝つ確率が $\frac{3}{5}$ ということは、5試合行えば平均して3回勝つ（3勝2敗になる）ということですよね？」

「それなら、反復試行の確率の公式なんか使わずに、
【イ：直感的な答え】 3勝2敗となる確率は単純に $\frac{3}{5}$（つまり $\frac{375}{625}$）である。
としてはいけないのでしょうか？」

確かに、ア（公式：$\frac{216}{625}$）と、イ（直感：$\frac{375}{625}$）には大きな差があります。結論から言うとアが正解なのですが、なぜこのような直感のズレが起きるのでしょうか？

! 陥りやすい勘違い

「確率」と「期待値（平均）」を混同してしまうのが原因です。
$\frac{3}{5}$ はあくまで「1試合勝負したときの勝率」であり、「5試合というセット」に対する確率ではありません。

2. グラフで見る「すべての結果」の確率

直感（イ）が間違っている理由を視覚的に理解するために、5試合した場合の「0勝〜5勝までのすべての結果の確率」を公式で計算し、グラフにしてみましょう。

グラフを見ると一目瞭然ですね。「3勝」する確率は確かにすべての結果の中で一番高い（山の頂点）です。

なぜ確率は60%（3/5）にならないのか？

確率は、起こりうるすべての結果を合わせると必ず「100%（$\frac{625}{625}$）」になります。つまり、100%という一つのパイ（ケーキ）を、0勝〜5勝までのすべての結果で奪い合っている状態です。

もし仮に「3勝」の確率が $\frac{3}{5}$（60%）もあった場合、残りのたった40%を「0勝, 1勝, 2勝, 4勝, 5勝」の5パターンで分け合うことになってしまいます。

しかし現実には、勝率 $\frac{3}{5}$ の実力があれば「4勝」する可能性も十分にありますし（約26%）、少し調子が悪ければ「2勝」になる可能性もかなりあります（約23%）。このように、一番起こりやすい「3勝」の周辺の結果も大きなパイを奪っていくため、「3勝」単独で60%もの確率を占有することはできないのです。

📊 【参考】すべての確率の計算式

分母を $5^5 = 3125$ に統一しています。

0勝： ${}_5\mathrm{C}_0 \left(\frac{3}{5}\right)^0 \left(\frac{2}{5}\right)^5 = \frac{32}{3125}$
（約1.0%）
1勝： ${}_5\mathrm{C}_1 \left(\frac{3}{5}\right)^1 \left(\frac{2}{5}\right)^4 = \frac{240}{3125}$
（約7.7%）
2勝： ${}_5\mathrm{C}_2 \left(\frac{3}{5}\right)^2 \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{720}{3125}$
（約23.0%）
3勝： ${}_5\mathrm{C}_3 \left(\frac{3}{5}\right)^3 \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{1080}{3125}$
（約34.6%）← 問題の答え
4勝： ${}_5\mathrm{C}_4 \left(\frac{3}{5}\right)^4 \left(\frac{2}{5}\right)^1 = \frac{810}{3125}$
（約25.9%）
5勝： ${}_5\mathrm{C}_5 \left(\frac{3}{5}\right)^5 \left(\frac{2}{5}\right)^0 = \frac{243}{3125}$
（約7.8%）

合計： $\frac{3125}{3125} = 1$ (100%)

💡 サイコロで考えてみよう

【問題】

サイコロで1が出る確率は $\frac{1}{6}$ である。サイコロを6回振ったとき、1が1回だけ出る確率を求めよ。

という問題だったと考えてみてください。

「サイコロで1が出る確率は $\frac{1}{6}$ だから、6回振れば平均して1回1が出ます。
だからといって、ぴったり1回だけ1が出る確率が $\frac{1}{6}$（約16.7%）だ」とは思いませんよね？

【実際の確率】

${}_6\mathrm{C}_1 \left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{5}{6}\right)^5$
$= 6 \times \frac{1}{6} \times \frac{3125}{7776} = \frac{3125}{7776} \fallingdotseq \boldsymbol{40.2\%}$

2回出ることもあれば、1回も出ないこともあるため、直感的な期待値と実際の確率は一致しません。

3. 結論：アとイの数値の意味の違い

以上のことから、アとイの数値が持つ「本当の意味」を整理しましょう。

【イ】 $\frac{3}{5}$（直感的な値）が意味するもの

これは「1試合あたり勝つと期待できる割合（勝率）」です。
5試合すれば「平均して」3勝するでしょう、という「期待値（平均）」の話をしています。
決して「ぴったり3勝2敗になる確率」のことではありません。

【ア】 $\frac{216}{625}$（公式の値）が意味するもの

これこそが「5試合というセットをこなしたとき、結果が『ぴったり3勝2敗』という特定の状態に落ち着く確率」です。
勝率が $\frac{3}{5}$ の相手に5回勝負を挑んだとき、約34.6%の確率で「3勝2敗」という結果になります。

反復試行の公式がやっていること

ちなみに、反復試行の公式は、魔法ではありません。以下の2つの要素を掛け算しているだけです。

何戦目に勝つかの
パターン数 $ {}_5\mathrm{C}_3 $ $ \times $ 「〇〇〇××」となる
1つのパターンの確率 $ \left(\frac{3}{5}\right)^3 \left(\frac{2}{5}\right)^2 $

「〇〇〇××」の順で勝敗が決まる確率は、$\frac{3}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{108}{3125}$ です。
しかし、3勝2敗になる順番は「〇×〇×〇」や「××〇〇〇」など ${}_5\mathrm{C}_3 = 10$ 通り存在します。
だから、1パターンあたりの確率を10倍（10通り分足し合わせる）しているのです。

最終的な結論

「平均して3勝する」ことと、「ぴったり3勝する確率」は別物！
だから、公式で導いた【ア】が正しい確率となる。

🤔 なぜ ${}_5\mathrm{P}_3$ ではなく ${}_5\mathrm{C}_3$ なのか？

確率の計算をしていると、「ここは $P$ だっけ？ $C$ だっけ？」と迷うことがありますよね。今回の「3勝2敗の並べ方」で組合せの $C$ を使う理由を整理しましょう。

順列 ${}_5\mathrm{P}_3$ は、5つの場所から3つを選んで「順番をつけて並べる」（1番目、2番目、3番目と区別する）計算です。
これを今回に当てはめると、「Aの勝ち（〇）」を「勝ち①」「勝ち②」「勝ち③」と区別して数えてしまうことになります。

【${}_5\mathrm{P}_3 = 60$ 通りの数え方をしてしまうと…】

勝ち①・勝ち②・勝ち③・×・× 勝ち②・勝ち①・勝ち③・×・× 勝ち③・勝ち②・勝ち①・×・× ...など（計6パターン）

↑ 試合結果としてはすべて同じ「〇・〇・〇・×・×」なのに、
別のパターンとして重複して（多めに）数えてしまいます！

実際には、「どの勝ちも同じ『〇』」であり区別しません。
つまり、5試合という5つの枠（場所）の中から、単に「『〇』を入れる3つの枠を選ぶだけ」なので、順番を気にしない組合せ ${}_5\mathrm{C}_3$ が正解になります。

🧠 思考のポイント

この質問は、数学の本質を突いた非常に鋭い疑問です。

公式を丸暗記して計算するだけでなく、「なぜ直感とずれるのか？」を突き詰めることで、「確率分布」や「期待値」という更に深い数学の世界の入り口に立つことができます。

💡 同じものを含む順列

「〇」3つと「×」2つを並び替えると考えて、「同じものを含む順列」でパターン数を計算することもできます。

$\frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \times (2 \cdot 1)} = 10$

実は、この式は組合せ ${}_5\mathrm{C}_3$ の展開式と全く同じです。どちらの考え方でアプローチしても、正しい答えに行き着きます。