高校数学で y=tanθのグラフ を学ぶ際、第2象限や第3象限における \(\tan\theta\) の値の求め方で戸惑うことはありませんか？特に、なぜ教科書では直感的な動径側の x=-1 ではなく x=1でのtanθ（直線 \(x=1\) 上のy座標）を基準にするのか、その必然性について図解を用いて深く考察します。
\(\theta\) が \(90^\circ\) を超える鈍角へと拡張されたとき、\(\tan\theta\) を図形的にどう求めるかが問題になります。
ここでは、具体的な角度として \(\theta = 150^\circ\)（第2象限） の場合を図で確認してみましょう。
上図のように、第2象限にある角度を考えるとき、直感的には動径と同じ側にある青色の三角形（x = -1 基準）を作るのが自然に思えます。
しかし、教科書では反対側にある赤色の三角形（x = 1 基準）を採用します。赤色の三角形は動径を逆方向に延長した場所にあり、図形的に少し不自然に感じます。
この「たまたま感」を論理的な必然に変えるのが、図の中に現れる合同な三角形の性質を用いた数式です。
直線 \(x=-1\) との交点 \(Q(-1, y_1)\) での \(\tan\theta\)
\(\tan\theta = \frac{高さ}{底辺} = \frac{y_1}{-1}\)
直線 \(x=1\) との交点 \(R(1, y_2)\) での \(\tan\theta\)
\(\tan\theta = \frac{高さ}{底辺} = \frac{y_2}{1} = y_2\)
原点 \(O\)、直線 \(x=-1\) 上の交点 \(Q\)、直線 \(x=1\) 上の交点 \(R\) は、すべて同じ一直線（動径のライン）上に存在します。実は、これらで作られる2つの直角三角形は「相似」であるだけでなく、「合同」です。
よって、「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」ため、青色の三角形と赤色の三角形は完全に合同になります。
2つの図形が合同であり、かつ点 \(Q\) と点 \(R\) が原点に関して点対称の位置にあることから、直線の傾きを表す以下の等式が成立します。
\(\frac{y_2}{1} = \frac{y_1}{-1} = \tan\theta\)
この等式が意味するのは、直線 \(x=1\) 上のy座標である \(y_2\) の符号は、直線 \(x=-1\) 上のy座標 \(y_1\) の符号によって必然的に決定される、ということです。
直線 \(x=-1\) 上の交点 \(Q\) の座標で考えます。
これを等式に代入すると、直線 \(x=1\) 上の交点の高さ \(y_2\) は以下のようになります。
\(y_2 = \frac{y_1}{-1} = \frac{1/\sqrt{3}}{-1} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\)
このように、具体的な値を等式に代入することで、直線 \(x=1\) 基準における \(y_2\) の値（\(= \tan 150^\circ\)）が必然的に \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) になることがはっきりと分かります。
第3象限はさらに直感に反しやすく、「たまたま感」を強く感じやすい場所です。図を見ながら、数式がどのように符号を決定しているか確認しましょう。
直線 \(x=-1\) 上の交点 \(Q(-1, y_1)\) は、第3象限にあるため高さがマイナスです。具体的には以下の値になります。
これを先ほどの等式に代入すると、直線 \(x=1\) 上の交点の高さ \(y_2\) が求まります。
\(y_2 = \frac{y_1}{-1} = \frac{-1/\sqrt{3}}{-1} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
この計算により、マイナス ÷ (-1) ＝ プラス となり、結果は必然的にプラス（\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)）になります。 図を見てもわかる通り、直線 \(x=1\) 基準の点 \(R\) は、確実に \(x\) 軸より上（プラスの領域）に描画されます。 \(x=-1\) 基準では「底辺も高さもマイナス」だったものが、\(x=1\) 基準では「底辺がプラス（+1）だから、高さをプラス（\(y_2 > 0\)）にしないと比率が合わない」という形で自動的に補正されているのです。